改进的小波均匀化方法求解小周期系数抛物型方程

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1、第40卷第6期2010年11月航空计算技术AeronauticalComputingTechniqueV01．40No．6Nov．2010改进的小波均匀化方法求解小周期系数抛物型方程杨建宏(宝鸡文理学院数学系，陕西宝鸡721013)摘要：对传统的小波数值均匀化方法通过加入逐层修正的步骤进行了改进，并将改进后的方法用于求解具有小周期系数的抛物型方程。数值算例结果表明：在保持较高计算效率的同时。改进后的方法比改进前方法在精度方面有明显的提高。因此，改进后方法是小周期系数抛物型方程的一种高效率、高精度的数值求解方法。关键词：小波分析；均匀化；小周期系数；抛物型方程中图

2、分类号：0241．82文献标识码：A文章编号：1671．654X(2010)06．0022．03引言Dorobantu，Engquist和Mihai[1-2]等人提出的小波数值均匀化(Wavelet．basedNumericalHomogenization，WNH)方法是一种针对多尺度问题求解的小波均匀化计算方法，该方法充分运用正交小波变换，将问题的细尺度信息映射到粗尺度空间，得到方程的均匀化算子，通过粗网格上均匀化方程的求解完成对原问题的数值逼近。Mihai¨以1等人已通过该方法成功地完成对具有多尺度系数的椭圆型方程的数值求解，并取得了较好的效果。王军华¨1在

3、此基础上，进一步通过该方法完成了对抛物型方程的数值求解。然而，不足之处在于该算法的实现过程只包含均匀化过程，即用粗网格上均匀化方程的解逼近原问题的解，这样虽然计算时间得到了节约，但计算精度有所降低。针对这点不足，通过在WNH方法中加入解的逐层修正过程完成了对其的改进，得到了改进的小波数值均匀化(ImprovedWavelet．basedNumericalHomogenization，WNH—I)方法。并将其用于具有小周期变化系数的一维抛物型方程的数值求解。数值结果表明：在保持较高计算效率的同时，WNH．I方法比WNH方法在精度上有了明显的提高。因此，WNH．I方

4、法是具有小周期系数抛物型方程的一种高效率、高精度的数值求解方法。1Haar小波正交变换Haar小波函数以其紧支撑性、时频局部性及形式简单等特点被普遍应用于工程领域。Haar小波系统是一个典型的多分辨分析，其尺度函数咖(戈)和小波函数母(x)分别为北，=矗巍刮从小㈦i煮竺1(1，从空间巧+。到％和E的Haar小波映射关系为奶，t=等(咖“2I一咖+l，舭+。)厅(2)妨。^=等(奶+l，强+咖“孔+1)则从巧+-到巧①形的Haar小波正交变换叶=(PQJj＼／H。：。，，式为=㈢=一10O10O10Ol02改进的小波数值均匀化方法2．1小波数值均匀化方法(均匀化过

5、程)WNH方法先在细尺度空间E+。上得到原方程的收稿日期：2010．03．31修订13期：2010．09．19基金项目：国家自然科学基金资助项目(10701001)；宝鸡文理学院科研计划重点项目(ZK0911)作者简介：杨建宏(1977一)，男，陕西临潼人，讲师。硕士．研究方向为多尺度算法研究。．1．O0一0一lO0—10O—lo～oo●～ol0¨0l0¨O—．．．．．．．。．．．．。．．。．．．．。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。L●一压2010年11月杨建宏：改进的小波均匀化方法求解小周

6、期系数抛物型方程·23·离散格式，通过重复正交小波变换得到所需粗尺度空间K一。(0

7、。It，Lj=Q，￡⋯Q；。方程(5)展开可得av?／at=A，嘭+曰∥(6)av；lat=cfu?+L∥(7)由式(6)可得vy=A『-1(一曰，彰+avy／at)(8)由于研比叫的能量小阳】，所以可忽略av：：l／at的影响，即取av?／at=o，则方程(8)可近似表示为研=-Aj“B∥(9)将(9)代人(7)消去研可得av!；lat=(‘一CA；叫E)彰(10)式中CA；-1B是对算子‘的修正项，记‘=‘一cAi。曰，，方程(10)为ov；lot=‘彰式中厶称为均匀化算子，方程(11)称为尺度空间L-中的小波均匀化方程。继续对方程(11)两边进行正交小波变

8、换∞H，得到尺度空间K一