奇异积分方程的小波方法及其应用

《奇异积分方程的小波方法及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、中山大学博士学位论文奇异积分方程的小波方法及其应用姓名：沈有建申请学位级别：博士专业：基础数学指导教师：林伟2003.4.20主些奎兰堡圭兰堡垒奎主奎塑墨奇异积分方程的小波方法及其应用专业基础数学博士生：沈有建导师：林伟教授摘要本文主要考虑平面弹性方程和调和方程的边值问题的数值解的小波方法。这两类问题在力学与工程学都中都有着广泛的应用。为了解决上述问题，我们首先应用自然边界元法将它们化为具有二阶奇性的自然边界积分方程，然后利用Ga3erkin方法或配置法结合小波方法求解所得到的自然边界积分方程。，7小波分析理论是近十年来迅猛发展起来的一个新的数学理论

2、。其思想和方法在纯粹数学和应用数学中都有着广泛的应用。而自然边界元法是由我国著名数学家冯康和余德浩教授所提出来的一种新的边界元方法，它除具有边界元方法的优点外，还具有很多独特的优点。如双线性型的对称性和强制性，边界积分方程解的存在唯一性及稳定性等等。由自然边界元方法所得到的边界积分方程都是强奇异积分方程。。本文将小波理论及自然边界元方法结合起来研究平面弹性方程和调和方程的边值问题的数值解。对圆内区域上的平面弹性问题，我们首先应用自然边界元法进行归化然后应用Gaterkin方法并取三角Rermite插值小波的尺度函数作为检验函数对这一问题进行求解，得到

3、了数值解的算法并给出了数值解的误差估计。，我们所得到的刚度矩阵是由16个分块矩阵组成的对称矩阵。而每个分块矩阵都是对称的或反对称的循环矩阵．我们只需计算其中的半行元素，而且每个元素都有非常简单的三角函数显式表达式。具体地说，对于一个2a+3×2J+3阶的刚度矩阵，我们仅需计算其中的3×2，+1个元素．第1页中山大学博士学位论文第一章引言方面，有限元方法所得到的刚度矩阵是非稀疏的．这增加了计算上的一些困难。尽管如此，有限元方法还是得到了很成功的应用。目前，边界元方法已经发展为工程数值计算中的最重要的方法之一，被广泛应用于弹性力学、断裂力学、液体力学、电

4、磁场和热传导等领域的科学研究和工程技术的数值计算，每年都有大量的文献出版(例如，可参见fI_6J)。另外，边界元法和有限元法的有效结合也使得我们可以解决很多较为复杂的计算问题。在有限元的应用过程中，往往会导致奇异积分方程的出现。例如，很多力学问题可化为具有二阶奇性的强奇异积分方程(参见17])。奇异性的出现增加了计算的难度。在对边界积分方程的研究中，最主要的困难不在于解的光滑性的丧失(在研究非光滑区域上的偏微分方程等问题时会出现解的光滑性的丧失)，而在于积分核奇性的出现。由于古典的数值方法不能直接应用于奇异积分方程”1，因此研究一套有效的处理奇异积分

5、方程的数值方法是很需要的。近年来，有大量的研究者从事这方面的工作，取得了一定的成绩(参见f9-111)。自然边界元法是由我国著名数学家冯康和余德浩教授所提出来的一种新的边界元方法“2。“。它是从Greeni弱数和Green公式出发，将微分方程的边界问题归化为边界上的强奇异积分方程(Hadamard有限分部意义下的强奇异积分方程1，然后化成相应的变分闯题在边界上离散化求解的一种数值计算方法。这～思想最早发表于论文fx21,．但最早注意至ULaplace方程边值问题可以归化为黑=托毋型强奇异积分方程则可追溯到J．Hartamard[1b,16i．但这一强

6、奇异性所带来的困难使得数十年来很少有人对它进行更深入的研究。直至70年代中期，冯康教授才又注意到这一类强奇异积分方程及其相应的变分形式，并从数值计算及应用的角度开始研究，提出了自然边界归化的思想”“。这一思想后来在文f6．13，141中得到了较为详尽的阐述和系统的发展。边界元法的归化途径很多，可以从同一边值问题得到许多不同的边界积分方程，不同的边界归化可能导致不同的边界元方法。目前通常采用的边界元归化方法分为间接法和直接法两大类，间接法是从基本解段位势理论出发得到nedhoJm积分方程的经典边界归化方法。此时边晁积分方程的未知量不是原边值问题的解而是

7、引进的新变量。直接法则是从基本解和Green函数出发在不引进新变量的情况下将微分方程边值问题归化为边界上的积分方程。这两种归化方法通常失去了原问题的自伴性等性质，从第2页中山大学博士学位论文中文摘要+在本文的最后，我们讨论Hadamard型强奇异积分／．b，，。、坤)：=／．p／孝兰寺”(。)出(+)的数值计算问题，其中，(￡)为实值函数。这个积分在古典积分意义下是发散的。我们首先建立一个新的关-于Cauchy主值积分的Gauss积分公式，延后在此基础上建立一个求强奇异积分(+)的Gauss积分公式。我们得到了Gauss积分公式的误差估计并证明它的阶

8、数为”一l。数值计算表明我们的公式可得到令人满意的精确度和收敛速度。另外，对一个具体的积分，通过选取适当的权