边界曲线积分方程的小波解法

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1、年月计算数学第卷第期,,’‘’边界曲线积分方程的小波解法”冯象初付瑜宋国乡西安电子科技大学理学院,西安,中山学院计算机工程系,广东中山,丫。’,‘‘。‘夕石盯,,毗,关健词边界测度方法,边界积分方程,配皿法,小波引言,利用小波求解偏微分方程具有许多优越性然而由于在二维任意形状区域上构造满足边界条件小波基,的困难使得绝大多数的讨论限制在一维情形用边界元方法可将二维问题化成,边界上的积分方程但如何利用小波处理曲线积分方程仍是未很好解决的问题通常是在假定,,边界足够光滑的条件下利用边界曲线的参数方程将原问题化为一维积分方程后

2、求解,医上述方法有很大的局限性本文首先利用边界测度方法将边界积分方程转化为平,,面上的二重积分方程对后者可以使用配置法或法求解这样就避免了二维任意,形状区域上构造小波基的困难也不必考虑在任意形状曲线上的积分问题我们还建立了平,面上函数在尺度函数基下展开的近似表示从而使计算简化我们的讨论是对尺度函数展开的,类似的算法可推广到小波函数年月日收到陕西省自然科学基金资助项目计算数学年边界测度方法。“,二,假定是中的任一有界区域其边界加可以用满足条件的功‘“。一,来表示设灿为上的特征函数则沿着边界如的单位法向量可以表示为箭由此可

3、以推导出曲线积分的边界测度方法如下‘“,·,二“·“,‘“‘二“·““一众几尤丈·、。勿十义成甸··一公血匆交一了‘几入夕沿,用中的记号定义边界测度为加卜一加·则我们将边界积分化为平面上二重积分一‘,加,‘,“众人上式右端的是左端山上被积函数在平面上的延拓,为了利用尺度函数计算边界测度加的近似值我们给出下述算法小波展开的近似算法,考虑参数为的尺度函数试其平移和伸缩为一“试几一的代·勿叫,二工,,、则。代负奈丝警」且有众功艺人,二“若定义巧《则托巧用弓表示由到巧的正交投影,则瓦乃二,,,,,,,,在中记一了必,一艺。。。

4、这里。邓哗喝邓会宁宁则有结论如下‘,,,定理若功满足众分价众功⋯则在中有尸二乃斗其中任“,则进一步有一在为次数不超过的多项式若‘劝的意义下成立,。,。、,。,,、山,,令思艺县喋代雄去管宁则在中有、此斗期冯象初等边界曲线积分方程的小波解法二,,证明已知“。乃乃艺岸喋其中邓众雌故,扩,只要证明了乃即可设则一劣‘〕“一‘一九。,尽五、,一人扩到试几川,尹价,勿一,‘,‘,,,,‘,,,‘一‘‘。‘人俞二,,,任由于当艺时定理条件满足故近似算法至少对线性函数成立当的结论可见【」,“同样由于已知在中,。只么乃、一。,乃。艺碟哗

5、代,,。。,,北。这里乃为二维投影算子界众功雌代功故只要证明乙一乃·,即可由雌的紧支性得乃义。一、乙艺,弓弓。弓熟任乙夕,、其中聪即雌喝,门加尹,,。一、一山一,,,·。“·““‘,峪,雌,代,人宁宁由知一、,。,乃知蕊日一名‘,,曰一,,任乙而由得,、,、,’。、、。,,“,“,、卜吟,代人宁宁·。“·“,’一‘··‘·。’弓弓,,,哗,,,,‘、,,,人人人三弓此,川三哪哪,这里是一个只依赖于的常量代入则有灭、一。。乙乃乙日·一,,,其中动为乙中元素的个数由于喋支集的宽度为而平移量为,一,“因此对任给的和给定的点支

6、集覆盖该点的雌的个数不超过个所以乙只于边界长度公和有关故有、,乃、一、乙呈二一。饥乙,,。、证毕计算数学年。,,。,定理给出了的尺度函数逼近算法忌下面近似计算和甲从而给出·、二一甲、。,。,卫勺的逼近用氰表示尺度函数的连接系数即氛功价。可以得到和偏导数的尺度函数近似,、,,欠一一,。·。已一一,,,,吮一一柳即即卜、,、,瓦于必二乙二弓代买豁沙,,,口卢,,,,。目。,剐,,二哗,苏份列一艺二哗代艺箭喝,这里,。一,。,擎名一艺豁艺罗硫犷峨,、,、,一。二二、豁艺罗嗽、夕产,艺犷凡一,。,一,,现在可用入乙来近似致用耐

7、哈来近似这里黔箫、、,丝擎雌一一功艺撬俨州州,弓艺篇专黔州哪,二,,人,,,。“,。,。而川二箭二箭备由定理可得下述两个推论,义甲、,推论升时乙在分布的意义下收敛到且思的支集是有限的证明对任何光滑可微的向量函数有。·“·一‘·。“··。、。“·“,一。·、、“·“二、、、、·“,,推论的第二部分是显然的,。推论假定是二阶可微的,时耐在砚中收敛到几证明由定理及甲的光滑性假定即得若用。二旧训艺峨州哪功·珠,。,,拜二,。豁一即免豁箭‘,,,二,,,,,表示对边界测度日加日的」次近似则由推论知丹时记·、,二“,,因此当足够光

8、滑时可以很容易地计算式、,岛,“一加‘“‘加,,,五人人,其中厂是的第次尺度函数近似期冯象初等边界曲线积分方程的小波解法边界曲线积分方程的小波解法考虑如下形式的偏微分方程。,,任△、山夕,二,一可得式在。内的解为利用基本解粼,、,,,,、。。诚功。气石‘一一花正一‘二一占,,工七‘于二儿乙二‘口咨乙二,,梦,任,,这里脚式中前一个