某些积分的方程(组)解法

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1、第19卷第2期高等数学研究Vol．19，No．22016年3月STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSMar．，2016doi:10．3969/j．issn．1008-1399．2016．02．016某些积分的方程(组)解法孙胜先(合肥工业大学数学学院，安徽合肥230009)摘要通过变量替换或分部积分可建立关于某些积分的方程，通过引入辅助积分可建立关于某些积分的方程组，解这些方程或方程组可得所求积分．关键词积分;换元法;分部积分法;方程;方程组中图分类号O172.2文献标识码A文章编号1008-1399(2016)02-0045-03Solutionsof

2、Equation(s)toSomeIntegrationSUNShengxian(SchoolofMathematics，HefeiUniversityofTechnology，Hefei230009，PＲC)AbstractTheequationofsomeintegrationcanbeestablishedthroughthemethodofvariablesubstitutionorintegrationbyparts，andequationsofthatcanbeestablishedbyintroducingsubsidiaryintegral，sothei

3、ntegrationcanbesolved．KeywordsIntegration;substitution;integrationbyparts;equation，equationsπ众所周知，不定积分、定积分的常见解法是换元4I=∫ln(1+tant)dt．积分法与分部积分法．有些积分经过变量替换或分0部积分后得到了关于原积分的方程，解方程后即可π再令u=－t，则4得到所求积分．另外，还有一些积分通过引入辅助积0π分，解以原积分和辅助积分为未知数的方程组可得I=∫πln[1+tan(4－u)](－du)=4所求积分．本文将通过实例从上述三个方面说明某π41－tanu

4、些积分的方程(组)解法．∫ln(1+)du=01+tanuππ4241利用变量替换建立关于原积分的方程∫lndu=∫ln2du－I，01+tanu0故［1］［2］例1求值:ππ1ln(x+1)2I=ln2，I=ln2．I=dx．48∫20x+1解法2令(第二届北京市大学生数学竞赛题，1990年;第六十1－ux=，六届美国大学生数学竞赛题，2005年)1+u解法1令x=tant，则则2dx=sectdt，－2dx=du，2于是(1+u)1－u1ln(1+)1+u1I=·du=收稿日期:2013-04-10∫2201－u(1+u)作者简介:孙胜先(1963－)，男，副教授，

5、偏微分方程．Email:1+(1+u)surfnet126@126．com46高等数学研究2016年3月1arctanxln2－ln(1+u)xeduI=dx．∫2∫2301+u(1+x)211=ln2·du－ln(1+u)du=πln2－I，(全国硕士研究生入学考试题，2003年)∫2∫2401+u01+u解解得xarctanxπI=∫2de=I=ln2．槡1+x8arctanxxarctanxe注:本例还有其它解法，后面的例子类似．e－∫3dx=22［3］槡1+x(1+x)2例2求1xarctanx1arctanx1997x－xe－∫de=I=∫x(1+x)(e－e

6、)dx．22－1槡1+x槡1+x(天津大学研究生入学考试题，1998年)x－1arctanxe－I，解令x=－t，则2槡1+x1I=∫t(1－t1997)(et－e－t)dt=解得－1x－1arctanx1I=e+C．x(1+x1997)(ex－e－x)dx，2∫2槡1+x－1［5］从而例5计算12112I=2x(ex－e－x)dx=I=∫(1+x－)ex+xdx．∫1x－121x－x(第十二届北京市大学生数学竞赛题，2000年)2∫xd(e+e)=－1111解令=u，则x－xx－xx2x(e+e)－2∫(e+e)dx－1－1121111I=1+－ueu+u－du==4

7、(e+e－1)－2(ex+e－x)=8e－1，∫()(2)2uu－111－1故I=4e．21u111+u2∫(1+－u)edeu=[(1+－u)eu]－2uu2112利用分部积分法建立关于原积分的方程211+u211+u(－1+－u)eudu－(1－)eudu=∫∫22u2u［4］21例3求积分511+u21+u13e2－∫(1－+u)eudu－∫eud(+u)=1u2uI=∫sinlnxdx251153e2－I－[eu+u]2=3e2－I(浙江大学研究生入学考试题，1982年)2解得解由分部积分法知35I=e2．I=xsinlnx－∫c