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1、第26卷第5期哈尔滨商业大学学报(自然科学版)Vo.l26No.52010年10月JournalofHarbinUniversityofCommerce(NaturalSciencesEdition)Oct.2010若干积分方程的解法研究12甘欣荣,甘泉(1.武汉科技大学,武汉430065;2.武汉大学电子信息学院,武汉430079)摘要:提出几种可化为常微分方程求解的积分方程的类型,给出解的表达式,应用这些公式,简化求相应方程解的过程,并对文献中的有关问题作了总结与推广.关键词:积分方程;解法;研究中图分类
2、号:O175.2文献标识码:A文章编号:1672-0946(2010)05-0633-04Solvingmethodresearchofsomeintegralequation12GANXinrong,GANQuan(1.WuhanUniversityofScience&Technology,Wuhan430065,China;2.SchoolofElectronicInformation,WuhanUniversity,Wuhan430079,China)Abstract:Itisshowedthat
3、somekindsofintegralequationswhichcanbechangedtoordinarydifferentialequations.Thispapergivestheformsofthesolutionwhichareusedtopredigesttheprocessandisgeneralizedtherelatedproposition.Keywords:integralequation;solution;discussionm+1cexp[∀(m!(x)+(x)q(G(x))G!(
4、x)/(x)dx],1求解定理其中:c={exp[-∀(m!(x)+1定理1若f,G,,C,qC,0,m,n,r,m+1n(x)q(G(x))G!(x)/(x)dx}x=a#[(a)+a为常数,且满足条件n!(x)(x)-m(x)!(x)G(a)m-1[1](a)q(t)f(t)dt].(此时定理附加G=0,则积分方程a∀G(x)nmr1f(G(x))=(x)+(x)∀q(t)f(t)dt(1)C).a3)当r0,1时,其解为可积,且1)当r=0时,其解为mf(G(x))=
5、(x
6、)
7、f(G(x))=1mm1-rm(x)(x)
8、(x)
9、∀mq(G(x))G!(x)dx+c),(1-r)∀m(1-r)q(G(x))G!(x)dx+c,
10、(x)
11、
12、(x)
13、G(a)G(a)-mnmnmr1-r其中:c=
14、(a)
15、[(a)+(a)∀q(t)dt]其中:c=[(a)+(a)q(t)f(t)dt]aa∀m(x)m(r-1)m-[∀mq(G(x))G!(x)dx]x=a.
16、(a)
17、-[∀(1-r)#(x)q(G(x))G!
18、(x)
19、m(1-r)-12)当r=1时,其解为(x)/
20、(
21、x)
22、dx]x=a,(此时定理附加G1f(G(x))=C).收稿日期:2009-07-03.基金项目:武汉科技大学基金资助课题作者简介:甘欣荣(1956-),男,硕士,副教授,研究方向:微分方程、代数学.∃634∃哈尔滨商业大学学报(自然科学版)第26卷0证明1)当r=0时,记f(t)=1,则积分方程两边对x求导,整理得(1)化为G(x)nmf(G(x))=(x)+(x)∀q(t)dt.(2)aG(x)df(G(x))n-1m-1m=n(x)!(x)+m(x)!(x)∀q(t)d
23、t+(x)q(G(x))G!(x)即dxan-1nm+1df(G(x)){n(x)!(x)(x)+m!(x)[f(G(x))-(x)]+(x)q(G(x))G!(x)}=.dx(x)利用条件n!(x)(x)-m(x)!(x)=0得n!(x)(x)-m(x)!(x)=0,,整理得到Berdf(G(x))noulli方程=dxdf(G(x))1m+1=[m!(x)f(G(x))+(x)qm!(x)mdx(x)f(G(x))+(x)q(G(x))G!(x).(x)(G(x))G!
24、(x)fr(G(x))].m!(x)dxm则f(G(x))=e∀(x)(∀(x)q(G(x))G!(x)解这个微分方程得m!(x)m-∀(x)dxf(G(x))=
25、(x)
26、∃(1-r)∃emmdx+c=
27、(x)
28、((x)q(G(x))G!∀m1(x)1-rm,(x)/
29、(x)
30、dx+c),∀
31、
