常微分方程初等积分法解法研究(一)里卡蒂方程解法研究.pptx

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1、常见类一阶微分方程的初等解法变量分离法，方程特征:dy/dx=f(x)Q(y)变量变换法，齐次方程dy/dx=g(y/x)令u=y/x线性方程dy/dx=p(x)y+Q(x)常数变异法或公式法线性齐次方程Q(x)=0（分离变量法）伯努利方程dx/dy=p(x)+Q(x)(n1,0)令z=Riccati方程：dy/dx=p(x)+Q(x)y+R(x)常见类一阶微分方程的初等解法恰当方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0凑微分法或公式法利用积分因子将非恰当方程化为恰当方程一阶隐方程与参数表示可以解出y（或x）的方程y=f（x,

2、y’）;x=f(y,y’)不显含y（或x）的方程R(x,y’)=0;F(y,y’)=0高阶方程线性方程齐次方程解的性质与结构非齐次方程解的性质与结构常系数线性方程齐次方程通解非齐次方程特解欧拉方程非线性方程降降法通解里卡提方程（Rccati）:形如dy/dx=p(x)+Q(x)y+R(x)的方程。称为里卡迪方程。其中P(x)、Q(x)、R(x)为x的连续函数。里卡迪方程的解法：1.显然当f(x)0,就是伯努利方程。2。当f(x)不恒为零时，一般无法对它进行精确求解。但如果已知它一个特解y=.通过变换y=u+得到一个关于u的伯努利

3、方程，从而求出它的通解。（关键：找特解）例1.已知里卡迪方程的一个特解，则可用初等积分法求得它的通解。证:对于里卡迪方程:dy/dx=p(x)+q(x)y+r(x)若已知它的一个特解y=u，令y=Z+u,带入原方程，则dZ/dx+du/dx=p(x)+q(x)(Z+u)+r(x)dZ/dx+du/dx=p(x)+(2p(x)u+q(x))Z+p(x)+q(x)y+r(x)dz/dx==p(x)+(2p(x)u+q(x))Z此方程已经是关于Z、x的伯努利方程，从而可以用初等积分法求解。例2.求解方程4(y’-)=1解：方程有特解：

4、y=-1/2x,令y=z–1/2x可得：dz/dx=-z/x再令t=1/z,可得：dt/dx=t/x-1此方程的通解为t=（C–lnx）x故原方程的的全体解为：（xy+½)（C–lnx）=1和y=-1/(2x)例3.求解方程(y’+)=2解：方程有特解：y=-1/x,令y=z–1/x可得：dz/dx=-2z/x再令t=1/z,可得：t=(1/3+C)故原方程的的全体解为：(1/3+C)(xy+1)=和y=-1/x例4.求解方程y’+=0解：将xy视为一整体，作变量代换u=xy，u’=xy’+y将其带入方程得：u’=-/x+u/x

5、即：u’=-(-5u+4)/x(这是个可分离变量方程)分离变量得：du/(-5u+4)=-dx/x即:1/3[1/(u-4)+1/(u-1)]du=-dx/x积分，得原方程通解为:(+c)(xy-1)=3另外还有一解：y=1/x