黎卡提方程的初等解法

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1、论文黎卡提方程的初等解法摘要：常微分方程有着深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具，例如化学，生物学，电子技术等等都提出大量的微分方程问题，那么就需要探讨微分方程的求解问题，本文介绍了著名的黎卡提方程的，给出了黎卡提方程可用初等积分法求解的一些充分条件，使得黎卡提方程在满足一定条件下可以用初等解法求解，并给出一些特殊类型黎卡提方程的通解表示，最后举例对一些具体的黎卡提方程进行求解，及微分方程的应用举例。关键词：黎卡提方程，变量方程，伯努利方程，线性方程0.引

2、言常微分方程是数学的一个重要分支，也是偏微分方程，变分法，控制论等数学分支的基础。微分方程的理论和方法从17世纪末开始发展起来，很快成了研究自然现象的强有力的工具。在17~18世纪，在力学，天文，物理和技术科学中，就已借助微分方程取得了巨大成就。微分方程的首要问题是如何给定一个方程的通解或特解。到目前为止，人们已经对许多微分方程得出了求解的一般方法。例如一阶微分方程中的变量分离方程、线性方程等等。求一个方程的解最自然的想法是用初等解法求解,即把微分方程的求解问题化为积分问题,但这是不容易做到的,能用初等解法求解的微分方程为数很少

3、,绝大部分的微分方程都无法求出通解,黎卡提方程便是其中的一个。意大利数学家黎卡提于1724年给出了它的特殊形式，后来引起许多学者的研究。达朗贝尔在1763年给出了它的一般形式，并首先称之为“黎卡提方程”；黎卡提方程不同于线性微分方程之处是还多含一项，但这就大大地改变了解的性质，即初等可积性丧失了，但在特殊情况下仍旧可以利用初等积分法进行求解。文献[2]和[3]汇集了很多可积方程和可积性成果；60年代以来，《美国数学月刊》上又连续发表了多篇关于这方面的论文；近年来《数学通报》也发表了多篇关于这一内容的文章，如[2][4]及[5]。

4、上述工作在一定程度上推动了探索黎卡提方程解法的发展。但要彻底解决黎卡提方程的求解问题，仍需要进一步探讨和研究。我们知道，黎卡提方程一般情况下不能用初等积分法求解，但在一些特殊情况下却有初等解法，那么，在哪些情况下有呢？本文将首先给出黎卡提方程可用初等积分法求解的一些充分条件，使得黎卡提方程在满足一定条件下可以用初等解法求解，并举例对一些具体的黎卡提方程进行求解，最后举出它的应用举例。1.预备知识考虑(1.1)其中函数和是连续函数，而且不恒为零。方程(1.1)通常叫作黎卡提方程，这是形式上最简单的非线性方程。为了方便说明，我们首先

5、给出几个有初等解法的微分方程类型及其求解的一般方法，并给出其通解表示。第10页共10页论文1.1类型1变量分离方程形如（1.2）的方程称为变量分离方程，其中,分别为的连续函数。其求解方法为：对于变量分离方程当，分离变量得两边再同时积分得（其中C为任意常数）特别地，当时，方程的通解为（1.3）注意：在变量分离的过程的过程中，必须保证，但如果有根为，则不难验证也是微分方程的解，有时无论怎样扩充通解的表达式中的任意常数，此解不包含在其中，解题时要另外补充上，不能遗漏。例题解方程并求满足初始条件：当x=0时，y=1的特解。解将变量分离，

6、得到两边积分得因而，通解为（c为任意常数）此外，方程还有解y=0.为了确定所求的特解，以x=0，y=1代入通解中决定任意常数c，得到c=-1因而，所求解为1.2类型2一阶线性方程一阶线性方程形如第10页共10页论文（1.4）其中函数P（x）和q（x）在区间I上连续。当时，方程（1.4）成为（1.5）方程（1.4）()叫作非齐次线性方程，而(1.5)叫作与(1.4)相应的齐次线性方程。关于齐次线性方程（1.5）的解，即为（1.3），由于（1.5）是方程（1.4）的特殊情形，因此可以设想方程（1.4）的通解应当是（1.3）的某种考虑

7、到的推广；而这种推广（1.3）的一个比较简单的办法就是把任意常数变易为的待定函数，使得它满足方程（1.4），亦即求方程（1.4）如下形式的解(1.6)显然这也可以看成是对（1.4）进行未知函数的变量替换，即将求未知函数y(x)换成求未知函数C(x)。将（1.6）代入方程（1.4）得亦即两边对x积分推得(1.7)其中为任意常数。将（1.7）代入（1.3）即得方程(1.4)的通解例题求解方程解由通解公式得或第10页共10页论文有时方程关于y,不是线性的，但如果视x为y的函数；方程关于x，是线性的，于是仍可以根据上面的方法求解之。1.

8、3类型3伯努利方程形如的方程称为伯努利方程，其中为常数，而且和，是在某个区间内的已知函数，对于这类方程，只要借助变量代换就可以化为线性方程。即伯努利方程可转化为两边同时乘以得然后令，就有于是伯努利方程就转化为这是关于未知函数的一阶线性方程，它的通解可由常数变易法