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1、编号090901228毕业论文（2013届本科）题目：浅谈黎卡提的求解学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学作者姓名：吴大婷指导教师：张飞羽职称：教授完成日期：2013年5月30日二○一三年四月浅谈黎卡提方程的求解吴大婷指导老师:张飞羽(河西学院数学与应用数学专业2013届2班28号,甘肃张掖734000)摘要著名的黎卡提方程是一个部分可积的非线性常微分方程,本文给出了黎卡提方程可用初等积分法求解的一些充分条件,使得黎卡提方程在满足一定条件下可以用初等解法求解,并给出一些特殊类型黎卡提方程的通解表示.此外,本文还提
2、出了黎卡提方程的另一种解法,即将它转化为二阶齐次性微分方程,再根据朗斯基定理,得出其通解.关键词黎卡提方程;初等积分法;分离变量;伯努利方程;朗斯基;中图分类号O175.14TheSolutionofRiccatiEquationWuDatingInstructorZhangFeiyu（No.28,Class2of2013,SpecialtyofMathematicsandAppliedMathematics,HexiUniversity,Zhangye,Gansu,734000）Abstract:TheRiccat
3、iequationisapartlyinterglacialdifferentialequation.InthispapersomesufficientconditionsaregiventhatelementaryintegrationaswellastherepresentativesofgeneralsolutionsforseveralRiccatiequations.WealsoputsforwardanothersolutionforRiccatiequationswhichturnsitintotwoo
4、rderhomogeneouslineardifferentialequation,thengetsthegeneralanswerofRiccatiequationbasicsontheWronskytheorem.Keywords:Riccatiequation;Elementaryintegral;Separablevariable;Bernoulliequation;Wronsky黎卡提方程是一类不可用初等方法求解的微分方程,它有着重要应用.例如,它曾用于证明贝塞尔方程的解不是初等函数.另外,它也出现在现代控
5、制论和向量场分支理论的一些问题中.黎卡提方程的研究既有着显而易见的理论和实际意义,又有着广阔的研究前景.由于黎卡提方程在理论上和应用上的重要性,一直有人寻求它的可积类型及可积方程.我们知道,黎卡提方程一般情况下不能用初等积分法求解,但在一些特殊情况下却有初等解法,那么,在哪些情况下黎卡提方程有初等解法呢?本文给出一些充分条件使得黎卡提方程可用初等积分法求解.1黎卡提方程可积的充分条件黎卡提方程是形如（1.1）方程,其中在区间上连续,而且.这里给出它可积的一些充分条件,使得黎卡提方程(1.1)在满足一定条件下可以用初等
6、解法求解.定理1.1设已知黎卡提方程(1.1)的一个特解则可用积分法求得它的通解.证明对方程(1.1)做变换其中是新的未知函数.代入方程(1.1),得到由于是方程(1.1)的解,从上式消去相关项以后就有(1.2)这是一个伯努利方程.因此,此方程可以用初等积分法求出通解.定理1.2若则黎卡提方程(1.1)可积.证明由于,则黎卡提方程(1.1)可化为(1.3)作变换,则代入(1.3)式中即为整理得这是变量可分离方程,从而此时方程可积.定理1.3若,则黎卡提方程(1.1)可积.证明由于,则黎卡提方程(1.1)可化为(1.4
7、)作变换则代入(1.4)式中即为整理得这是变量可分离方程,从而此时方程可积.定理1.4两类特殊黎卡提方程:和:可相互转换,当及为零或正整数时,这两类特殊黎卡提可经有限次变换解出.证明方程:令可化为整理得此为方程:的形式.反之,方程可通过,则化为此方程为的形式.下证当方程中或方程中为零或正整数时方程可解.当时,即方程为变量分离方程.方程则直接可解为因可互换,仅证当为正整数时方程可解.方法为取变换即有则方程变为即为此仍为方程的形式.若经此变换,则原方程线性项的系数变为.由的假设,有即系数变为,,即为的情形,方程有解定理1
8、.5设黎卡提方程形如(1.5)其中,,都是常数.又,,则当时,方程(1.5)可通过适当的变换化为变量分离的方程.证明不妨设(否则作自变量变换即可).因此代替方程(1.5),考虑方程(1.6)当时,(1.6)是一个变量分离的方程当时,作变换,其中是新未知函数.然后代入方程(1.6),得到这也是一个变量分离的方程.当时,作变换其中和分别为新的自变量
