泊松方程边界元解法

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1、二、泊松方程边界元解法泊松方程，（2.1）式中为己知函数.如果位于边界上,文【1】给出其解为（2.2）如果位于区域内,文【l】给出（2.3）式中为求解区域,S为边界,S的单位外法线为n，为拉普拉斯方程基本解,对于二维问题，文【1】给出的（2.2）式和（2.3）式仍含有区域积分，这区域积分虽不含有求解的未知数u，但仍需要对区域进行离散数值积分.如果令那么由格林公式,(2.2)式和(2.3)式的区域积分可以写成（2.4）如果再令那么(2.4)式的区域积分又可写成（2.5）如此类推,(2.2)式和(2.3)

2、式的区域积分可写成（2.6）（2.7）为拉普拉斯方程基本解,这里称为一阶拉普拉斯算子基本解,称为j阶拉普拉斯算子基本解.下面求表达式.由于那么可求得(2.8)又由可得(2.9)比较,和的表达式,可以看出有下列形式,即(2.10)下面确定系数和,所以有（2.11）比较（2.7）式，（2.10）式和（2.11）式，有：即由于=1，=-0，所以有（2.12）从(2.12)式看到，随j增加很快趋于零,如果的高阶微分不发散,那么n取适当大，那么(2.6)式的区域积分就可以略去，一般取n=4就可以得到满意的解。这

3、样(2.1)式对应的(2.2)式和(2.3)式的解可以写成(2.13)(2.14)由(2.13)式在边界上离散,根据边界条件,求出边界上的u和的值,知道边界上全部u值和的值,再由(2.14)式可求得区域内任一点的u值。[1]Bebbai.C.A.,《边界元法的工程应用》(张治强译),陕西科学技术出版社(1985)。[2」Milne一Thoosn,L.M.,《理论流体动力学》(李裕立等译),北京,机械工业出版社(1984).