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1、应用数学MATHEMATICAAPPLICATA2006,19(2):313～3183三维泊松方程的高精度多重网格解法112葛永斌,田振夫,马红磊(1.宁夏大学应用数学与力学研究所,宁夏银川750021;2.航天医学工程研究所,北京100094)摘要:利用对称网格点泰勒展开式中各阶导数项明显的对称性,得到了数值求解三维泊松方程的四阶和六阶精度的紧致差分格式,其推导过程简便直接.为了克服传统迭代法在求解高维问题时计算量大、收敛速度慢的缺陷,采用了多重网格加速技术,设计了相应的多重网格算法,求解了三维泊松方程的Dirichlet边值问题.数值实验结果表明,本文所提出的高精度紧致格式
2、达到了期望的精度并且多重网格方法的加速效果是非常显著的.关键词:泊松方程;有限差分法;高阶紧致格式;多重网格中图分类号:O241.82AMS(2000)主题分类:65M06文献标识码:A文章编号:100129847(2006)0220313206[1,2][3,4]对于二维泊松方程,已经存在不少高精度紧致格式及其多重网格算法.但是对于三维泊松方程的高精度紧致差分方法,由于格式的构造比二维具有更高的代数复杂性要求,所[5]以研究报道并不多.具代表性的是Spotz和Carey基于中心差分余项修正的方法和Gupta和[6]Kouatchou采用Mathmatica数学软件包所得到的7
3、点、15点、19点、21点和27点格式.本文首先从泰勒展式入手,通过引进对称和的方法,消去中间的导数项,从而较容易的得到了数值求解方程(1)的两种精度分别为四阶和六阶的紧致差分格式.然后,利用了多重网格加速技术,采用多重网格的V循环算法对三维泊松方程的Dirichlet边值问题进行了数值求解和方法验证.本文考虑如下三维泊松方程的Dirichlet边值问题:Δu=f(x,y,z),(x,y,z)∈D,(1)u(x,y,z)=g(x,y,z),(x,y,z)∈5D,(2)222555其中Δ=2+2+2为Laplace算子,D为求解区域,5D为区域边界.式中u(x,y,z)是5x5y
4、5z待求的函数,f(x,y,z)和g(x,y,z)可以视为已知函数.为了保证文中所得格式的完整性,不失一般性,假定函数u(x,y,z)和f(x,y,z)均为充分光滑的函数.3收稿日期:2005205231基金项目:国家自然科学基金资助项目(10502026);教育部“高等学校优秀青年教师教学科研奖励计划”资助项目;宁夏高等学校科学技术研究项目作者简介:葛永斌,男,汉,宁夏人,副教授,博士,主要从事偏微分方程数值解和计算流体力学的研究.314应用数学2006在以下高精度格式构造过程中,我们取计算网格为等距网格,步长用h表示.并且为了书写方便,我们分别用数字0到26依次代表网格点(
5、x,y,z),(x+h,y,z),(x,y+h,z),(x-h,y,z),(x,y-h,z),(x,y,z+h),(x,y,z-h),(x+h,y+h,z),(x-h,y+h,z),(x-h,y-h,z),(x+h,y-h,z)(x+h,y,z+h),(x,y+h,z+h),(x-h,y,z+h),(x,y-h,z+h),(x+h,y,z-h),(x,y+h,z-h),(x-h,y,z-h),(x,y-h,z-h),(x+h,y+h,z+h),(x-h,y+h,z+h),(x-h,y-h,z+h),(x+h,y-h,z+h),(x+h,y+h,z-h),(x-h,y+h,z-h
6、),(x-h,y-h,z-h),(x+h,y-h,z-h).如图1所示.用uj(j=0,⋯,26)图1三维空间离散子域表示函数u对应各点处的近似值.为了便于推导,我们定义如下微分算子:555ξ=h,η=h,ζ=h,(3)5x5y5z222252525ω=,ψ=,φ=.(4)5x5y5x5z5y5z通过简单的推导,我们可以得到如下公式:2222ξ+η+ζ=hΔ,(5)2222ξη+ξζ+ηζ=h(ω+ψ+φ),(6)2222224444ξη+ξζ+ηζ=h(ω+ψ+φ),(7)44442444ξ+η+ζ=h[Δ-2(ω+ψ+φ)],(8)66663444222ζ+η+ξ=h[Δ-
7、3Δ(ω+ψ+φ)+3ωψφ].(9)根据泰勒展式可得22nn5h5h5u(x+h,y,z)=1+h+2+⋯+n+⋯u(x,y,z)5x2!5xn!5x5h=(e5x)u(x,y,z),(10)ξ即u1=eu0.同理可得η-ξ-ηu2=eu0,u3=eu0,u4=eu0,ζ-ζξ+ηu5=eu0,u6=eu0,u7=eu0,-ξ+η-ξ-ηξ-ηu8=eu0,u9=eu0,u10=eu0,η+ζη+ζ-ξ+ζu11=eu0,u12=eu0,u13=eu0,-η+ζξ-ζη-ζu14=eu0,
