非等距网格上的高精度Richardson外推与多重网格算法分析

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1、独创性声明本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。研究生签名：李吖、易7刁时间：≥垆年f月谚日关于论文使用授权的说明本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同意宁夏大

2、学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。(保密的学位论文在解密后应遵守此协议)研究生签名：季中纫刁时间：砰年，月丛日导师签名：零参文时间：仞f◆年丫月动日‘j：。嗄，、，’；：’帧f’。；j’f?，沦乏第。审?齐论1．1研究背景和意义第一章绪论计算流体力学数值模拟已经成为解决许多工程问题的重要手段，在一般问题中，流动均匀区域计算精度达到二阶就可以模拟实际流动，但是在流动变化剧烈的区域，流动现象比较复杂，低阶精度的离散方法可能会对许多流动结构造成“失真”模拟，不能真实反映流动现象．为了真实刻画流场内流动细节，往往要求采用高阶格式．因

3、为高阶格式的耗散误差和色散误差都很小，这使得它的差分方程与微分方程之间差别就小，从而在同样条件下高阶格式能分辨出更加精细的流场结构，捕捉到更细微的流场结构变化．因此发展高分辨率、高精度离散格式是计算流体力学发展中的迫切需要．近几十年来，由于计算机科学技术的快速发展，使得数值求解偏微分方程的能力也越来越强，就流动和传热问题而言，其数值模拟中可靠性和有效性的提高对偏微分方程求解的数值方法提出更高的要求，这当中高精度和高分辨率已成为衡量一种数值计算方法好坏的重要标志．如何精细、准确地数值模拟流场已成为计算流体力学的重要课题．为利用计算机优势，简单、有效地数值模

4、拟流场，人们对高精度有限差分方法进行了深入的研究．高精度格式的使用可放松对网格步长的要求，利用计算区域内较少的网格节点数得到较高精度的数值解，既可以提高数值解的精度又可以提高其求解效率，在科学研究和实际工程问题的解决中具有十分重要的意义．但高精度差分格式也存在一些问题，它一般都比较复杂，给边界条件的处理带来一定的困难，同时为了不造成整体精度的降低，边界也要有高阶精度的差分格式来匹配，这就导致了差分格式的不协调，给计算带来很大不便．另一方面，一般来讲，差分格式的计算量随着网格剖分的加密，即网格步长的减小而增加，但网格步长越小，网格节点就越多，差分方程系数矩

5、阵的阶数就越高，计算存储量就越大，故所需计算的时间也相应增加．高精度紧致差分格式的出现正好克服了这一缺陷，高精度紧致差分格式尽可能利用较少的网格基架点，可以在不比二阶中心差分格式增加计算量的情况下，达到更高的精度．总之，高精度紧致格式具有网格基架点少，精度高，稳定性好且使求解问题边界处理简单等优势，在偏微分方程数值解和计算流体力学领域越来越受到人们的重视，是数值模拟许多复杂流动问题的关键技术之一．目前已经发展了针对泊松方程、对流扩散方程、以及涡量一流函数变量Navicr-Stokcs方程组u。31的高精度差分格式．但目前已有的高精度紧致差分格式的多重网格

6、方法几乎是在均匀网格上提出和实施的．而在实际流场计算中，经常遇到求物理量的浓度、温度等急剧变化或空间分布不均匀的各向异性问题，使等距网格格式的计算精度受到很大的影响．比较合理的做法是在物理量变化急剧的方向多分布一些计算节点，而在变化缓慢的区域内少分布计算节点，这样既可以兼顾算法的稳定性和计算结果的精确性，又可以节省计算量，因此发展非等距网格上的高精度紧致格式具有十分重要的价值．在很多1程问题中，会遇到各种大型代数方程组的求解，由于计算问题的复杂，相应的代数方程组不但形式复杂，阶数更高，而且求解难度也增大．最常用的方法是迭代法，但一般迭代法收敛速度比较慢，

7、且为了提高精度，需要将网格划分的足够精细，这样不仅计算比较麻烦，而且需要很长的迭代时间，因此加速求解代数方程组收敛速度的迭代方法也是一个很重要的课题．1962年。j：嗄Jj。’?：f『6l’。：÷fji仑乏珂j。争?托沦Fedorenko【41提出了求解离散方程的一种新方法，即多重网格方法的最早雏形，1977年Brandt发表’了其开创性的文章“边值问题的多重网格适应解”哺’，标志多重网格方法研究的全面开始，经过30多年的发展，多重网格方法已成为数值计算领域必不可少的加速收敛方法．1910年Richardson提出了一种外推技术，后人称之为Richard

8、son外推法．1927年又有所改进，它是一种简便易行而且精度又很高的数值方法，是