第十一讲 直线与圆的位置关系

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1、第十一讲直线与圆的位置关系【学习目标】1、理解直线和圆的相交、相切、相离的概念。2、掌握切线的判定定理，性质定理和切线长定理，并会利用它们解决有关问题。3、会画圆的切线和三角形的内切圆，掌握三角形内心的概念。4、掌握弦切角的概念和弦切角定理。5、掌握相交弦定理、切割线定理及推论，并会利用它们解决有关问题。【知识框图】相离d＞r相交弦定理直线与圆的相交d＜r切割线定理的推论位置关系弦切角定理相切d＝r切线长定理切割线定理【典型例题】例1：如图，已知AB是⊙O的直径，延长AB到D，使BD=OB，DC切⊙O于C，求∠A的度数。分析：本题条件中，没有给出角的度数条件，因此需要挖掘隐含度数

2、的条件，由AB是⊙O的直径可想到连接BC，则∠ACB=900给解本题创造了条件，又注意到DC是⊙O的切线，于是得解。解：连接OC、BC则OC⊥CDC在RtΔOCD中，∵OC=OB=BDAOBD∴OD=2OC∴SinD==∴∠D=300又∵BO=BD∴CB=BD∴∠BCD=∠D=300∵DC是⊙O的切线∴∠A=∠BCD=300或者，在求得∠D=30后，可得∠COB=60，由三角形外角的性质可知∠A=∠COB=300例2：如图，若过⊙O上一点A作⊙A交⊙O于B、C，过点A的直线交⊙O于E，A交⊙A于D、G，交BC于F，求证：EF×AF=AD2-AF2分析：显然本题两圆中都含有相交弦，

3、可从相交弦入手。在⊙O中有EF×FA=BF×FC，在⊙A中有DF×FG=BF×FC，则EF×FA=DF×FG。我们可把DF=AD-AF，FG=AG+AF代入，又有AD=AG，就易得EF×AF=AD2-AF2。　　　　　　　　　　Ｒ证明：∵EF×FA=BF×CFBF×CF=DF×FG　　　　　ＥＤＦ　Ａ　∴EF×FA=DF×FG　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｇ　　　　　　　　　　　　　　　　Ｃ∵DF=AD-AF，　FG=AF+FG　又∵AD=AG　∴EF×FA=（AD-AF）（AF+FG）=AD2-AF2评注：有的等积式很复杂，就出现了差（和）问题，对于这一类问题

4、最终是要化成四条线段组成的等式，这主要是通过等量代换来证明，但注意不要生般硬套，要分情况，有时可用线段的拆拼，有时可考虑到提公因式，都能把和（差）变成积。例3：如图，在ΔABC中，∠B=900，D是BC上一点，BD=BA=a,以O为圆心BD为直径的半圆与AC相切于点M。（1）求证：MC=2CD（2）求AC的长分析：本题的条件中隐含着多对三角形相似，并且DO=OB=OM=a=　AB，由此联想到MC=2CD，可转化为线段相似比来证。　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｍ解：（1）连OM、DM、BM∵AC切⊙O于M　∴∠CMD=∠CBM∠CMO=R

5、t∠　　Ｃ　　Ｄ　　Ｏ　　Ｂ∴ΔCMD∽ΔCMB　ΔCMO∽ΔCAB∴====2∴==2　　即MC=2CD（2）设MC=x则BC=2x∵∠B=900∴AC2=AB2+BC2∴(a+x)2=a2+(2x)2　　解得x=a　∴AC=a评注：在几何证明或计计算中，如果能利用一些基本图形和基本结论，往往能使思路简化，并且繁杂图形又往往是几个基本结论的组合，所以掌握这些基本图形和基本结论很必要。【选讲例题】例4：如图，⊙O内接ΔABC，AQ⊥BC于D，交⊙O于Q，AD是⊙O１的直径，⊙O１交AB于M，交AC于N，AQ交MN于P，求证：（1）OA⊥MN（2）AD２=AP×AQ分析：（1）要证

6、OA⊥MN，须证∠CMA+∠MAO=90，延长AO为直径AE，连结BE，则∠ABE=900，要证明人∠CMA+∠MAO=900，只须证∠CMA=∠E即可，而∠E=∠ACB，AD是⊙O的直径，连接DN，∠AND=900，∠ADN=∠CMA，若∠ACB=∠ADN即可，由AD⊥BC可得∠ADN=∠ACB（2）要证AD2=AP×AQ，而AP、AD共线，不便于用相似三角形证，由图形特点我们联想，得到AD2=AN×AC，则只须证AN×AC=AP×AQ，可那么须证ΔAPN∽ΔACQ，连接CQ，只须证∠ANM=∠Q，而∠Q=∠ABC，若∠ANM=∠ABC则可得。由于上题得到∠CMA=∠ACB，能

7、得到ΔAMN∽ΔACB，显然∠ACM=∠ABC，于是思路疏通。证明：（1）延长AO交⊙O于E，连接BE，ND∵AE、AD分别为⊙O、⊙O１的直径∴∠ABE=∠ADN=900，∠BAO+∠E=900∵AD⊥BC　∴∠ACB=∠ADN=∠CMA，　∠CMA=∠E=∠ACB∴∠BAO+∠CMA=900　即OA⊥MN　　　　　　　　　Ａ（2）连接QC，则∠Q=∠ABC　　　　　　　　　Ｍ　　Ｐ∵∠CMA=∠ACB　　∠MAN=∠CAB∴ΔMAN∽ΔACB