具有随机观测矩阵的线性系统的Kalman滤波

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1、测绘信息网http://www.othermap.com网友测绘人提供具有随机观测矩阵的线性系统的!"#$"%滤波王国富%，&，朱建军%（%,中南大学信息物理工程学院，湖南长沙"%!!(’；&,中南大学数学科学与计算技术学院，湖南长沙"%!!(’）!"#$"%&’#()*’%+,-.’%)*/,0)#1’(23(,42"5(’4675)*8"(’,%/"(*’9-./0012$31，456789:$;1:摘要：由于观测过程中各种随机因素的影响，观测方程的系数矩阵具有不确定性，在这种情况下，用标准的<9=>9:滤波方法将会出现较大的偏倚或者使滤

2、波结果失真。主要讨论观测矩阵为随机矩阵时的<9=>9:滤波方法，并通过与标准<9=>9:滤波的比较得到这种<9=>9:滤波的优良性。关键词：动态系统；<9=>9:滤波；随机矩阵；状态增益阵；一步预测刻的系统一步"C"转移矩阵，$%为!时刻的#C一、引言"观测矩阵，!!和"!分别为!时刻的"C%系统噪&!世纪?!年代初问世的<9=>9:滤波理论是声和#C%观测噪声。一种对动态系统进行数据处理的有效方法，它利用线性模型的<9=>9:滤波的随机模型为观测向量来估计随时间不断变化的状态向量，它是%（!!）B!一种状态估计问题。<9=>9:滤波不需要存

3、贮大量%（!%）B!的历史观测数据，利用新的观测值，不断地预测和修D2（E!!，!&）B!正。它被广泛应用于各种动态测量系统中。我们常D2（E!!，!&）B&!（!）"!&［%］D2（E!!，!&）B&!（!）"!&见的滤波是线性模型的标准<9=>9:滤波。这种式中，&（!）为"C"系统动态噪声方差阵，&（!）!!线性模型，需要严格的系统条件。它要求系统噪声为#C#观测噪声方差阵，"!&为9:滤波方程［%］中不满足，将使滤波结果失真。这种情况可采用抗［&］!’（

4、!’!）B!’（!’!I%）A(［!)!I差滤波方法，当状态转移矩阵和观测矩阵定位不*!’（!’!I%）］（"）!准确时，将使状态估计发生偏倚，也影响估计的精+（!’!）B（,I(!*!）+（!’!I%）（@）度。这时需要对模型进行检测［’］，当出现状态方程!’（!’!I%）B"!’（!I%’!I%）（?）!，!I%和观测方程为非线性时，需采用非线性滤波方(!B&（!’!I%）$［J!*!+（!’!I%）$J!A［"，@］法。实际中，由于各种因素的影响，线性模型中&（!）］I%（*）!状态转移矩阵和观测矩阵可能是随机矩阵。这种模&（!’!I%

5、）B"&（!I%’!I%）"JA!，!I%!，!I%型滤波不能用标准的<9=>9:滤波法。本文讨论这&（!）（(）!种情形下的<9=>9:滤波。式中，!’（!’!I%）为一步预测值，&（!’!I%）为一步预测方差阵，(!为状态增益矩阵。二、线性模型的!"#$"%滤波三、矩阵为随机的!"#$"%滤波设状态方程和观测方程为!!A%B"!A%，!!!A!!A%（%）考虑下列模型#!A%B$!A%!!A%A!!A%（&）!!B"!，!I%!!I%A!!（#）其中，!!为!时刻的"C%待估状态向量，#!为!#!B（$!A#!）!!A!!（%!）时刻的#

6、C%观测向量，$为!时刻到!A%时J为随机!A%，!!!与!!同前。#!B［#!%#!&⋯#!"］收稿日期：&!!&$!($&?；修回日期：&!!’$%!$!(作者简介：王国富（%#?&$），男，湖南湘潭人，副教授，博士生，主要研究方向为随机过程、数据处理、误差分析等。测绘信息网http://www.othermap.com网友测绘人提供观测矩阵误差，!!"为#!"误差向量且!（!!"）#$，当在&时刻得到观测值%!时，得到#!的滤波"（!!"）#"!"，"!"为#阶非负定方阵，我们还假定值#$（!%!）。!!"，"#"，%，⋯，$相互独立，

7、即随机观测矩阵误差记的行与行之间相互独立。并且它们与#"和!"也!#（!%!+"）##$（!%!+"）+#!（""）相互独立。!#（!%!）##$（!%!）+#!（"%）设系统的初始状态#$具有先验期望#（$%$）、令先验方差"（$%$）。与标准线性系统的&’()’*滤#$（!%!）##$（!%!+"）.’［!(!+)!#$（!%!+"）］波方法一样，可得到一组递推公式。（"/）利用#$（!+"%!+"）对#!作预报，得到式（,）误差阵和式（-）。"（!%!）#!［!#（!%!）!#（!%!）0］#!｛［!#（!%!+"）.&（%+)#$（!

8、%!+"））］［!#（!%!+"）.!!!&（!%!+’!#$（!%!+"））］0｝#"（!%!+"）.!｛!#（!%!+"）［%!+)!#$（!%!+"）］0’0