关于Kalman滤波的仿真与讨论

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1、关于Kalman滤波的仿真与讨论王柯摘要：1960年，卡尔曼发表了他著名的用递归方法解决离散数据线性滤波问题的论文。从那以后，得益于数字计算技术的进步，卡尔曼滤波器在各方面都得到了极大的应用。卡尔曼滤波器由一系列递归数学公式描述。它们提供了一种高效可计算的方法来估计过程的状态，并使估计均方误差最小。卡尔曼滤波器应用广泛且功能强大：它可以估计信号的过去和当前状态，甚至能估计将来的状态，即使并不知道模型的确切性质。[1]AnIntroductiontotheKalmanFilter，2004,41]

2、这篇文章介绍了离散卡尔曼理论，并对简单的Kalman滤波进行了仿真和讨论。内容假设从时刻开始进行量测，并且运用获得的信息估计在时刻的状态，假设量测是线性的，并且与下面的量测方程有关：[2]KalmanFiltering-theoryandpracticeusingMatlab.2001:116~1172]假设系统的动态模型为：其中和为观测噪声和激励噪声。假设它们是相互独立并且正态分布的白噪声。[3]KalmanFiltering-theoryandpracticeusingMatlab.2001

3、:121假设:（—代表先验，^代表估计）为在已知第k步以前状态时第k步的先验估计。为已知时第k步的后验状态估计：先验估计误差和后验估计误差的协方差分别为：则我们可以构造Kalman滤波的表达式为：K叫做残余的增益，作用是使式中的后验估计误差协方差最小。K具体推导过程参见文献[4]敬喜.卡尔曼滤波器及其应用基础北京：国防工业出版社，1973.4]。可以得到K的一种形式为：以上是一些关于Kalman滤波的基本理论。在实际仿真时，若我们假设输入协方差。那么按照Kalman滤波的理论，输出的均值也是0.

4、但是实际上，我们会看到这样的图像：图1很显然图1中的图像的所有点的均值不是0，我们可能会对此感到非常疑惑。那么让我们再多做几次仿真：从这些图中我们好像可以得出不同的均值，但是如果我们把这些图当做一个整体联系起来看的话，我们会发现在这些图像有的偏上，有的偏下，还有的在0附近振荡，它们在整体上反应出的均值是0。那么这是为什么呢？让我们回到我用来做Kalman滤波的模型：以及仿真程序：通过观察我们可以发现，仿真图像描绘的是不同n值所对应的y值输出，也就是说我们在图中所看到的是图中的输出之间并不是单一y

5、的均值图像，而是条件均值下的y的图像，相邻之间的点的取值受到前一时刻的y值得影响，因此，仿真结果会偏离零均值。我们可以取特定n值下多次估计过程的输出值：在这里z代表了特定n值下多次估计过程的输出值的统计，很显然这时图像反应的均值是1。以上讨论的是我们在仿真过程中容易陷入的误区。那么Kalman滤波是不是不会发散呢？显然不是这样的，我们可以看一下这样一个例子：假设初值X（0）以u匀速增长，采样时间为1。测量误差为零均值的白噪声方差为1。建模时错误的使。MATLAB程序：仿真结果：很显然真实值与估计

6、值之间的误差越来越大。可见在进行kalman滤波时，实际模型与所建模型不符时会造成Kalman滤波的发散。考虑到X的估计式：其中。为了改善在这种情况下的稳定性我们可以采用改进的滑动平均滤波器模型：[5]秦永元，卡尔曼滤波与组合导航原理西安：西安工业大学出版社，1998,115]MATLAB程序：可见经过改进后的模型能够收敛在某一特定值。但是这毕竟只是一种避免发散的数学上的手法，实际应用中，我们还是应该尽量建模准确。结论（1）在看待随机系统的时候要避免单一的看待对象，而要从大的范围来思考和分析统计

7、结果。（2）强调了建模的重要性，通过举出反例来说明建模是进行下一步工作的首要前提，同时也反应出了Kalman滤波并不是万能的，也存在发散的情况。（3）提出了一种在Kalman滤波发散条件下的使其收敛的基础数学手段，但是，这中方法并不能反应实际问题。因此在实际问题的处理过程中出现发散的情况，还是要从系统本身进行分析。参考文献