Kalman滤波的直接推导

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1、Kalman滤波的直接推导为了和大家更好的共同学习，这里稍稍整理了一下Kalman滤波直接推导的过程和一些个人理解。由于能力有限，难免会有误解之处，希望同学们可以不吝指正！在开始直接推导之前，我们需要关注几个非常重要的方程和性质。我们设一个系统的下一个状态可以由前一个状态再外加一个噪声扰动得到。即，可以获得如下系统的状态方程（equal1）式中的为时刻到时刻的一步转移阵（所谓的一步转移阵就是反映下一时刻和上一时刻的变化关系），为系统的噪声驱动阵，为系统的激励噪声序列。好了，现在我们知道了系统的状态方程。那么我们怎么知道系统的状态的呢？这时我们就需要一个外部

2、的检测设备，但是我们知道，检测设备检测的时候也会有噪声的干扰，那么，我们就将量测方程表现为下面这种形式：（equal2）式中的为时刻的测量值，为量测阵，为量测噪声序列，为系统时刻的状态。由于卡尔曼滤波要求所有的噪声干扰为高斯白噪声（所谓的高斯白噪声就是：如果一个噪声，它的幅度分布服从高斯分布，而它的功率谱密度又是均匀分布的，则称它为高斯白噪声。热噪声和散粒噪声是高斯白噪声。可自行百度）所以，上面的和序列都要满足以下等式（equal3）好了，以上对于卡尔曼滤波直接推导的铺垫部分已经结束，接下来开始正式的直接推导过程。在开始之前，我们需要认识一下著名的卡尔曼滤

3、波五大基本方程（这个，如果真没办法，就只能背了！五个基本方程是卡尔曼滤波应用的核心，背下来还是益处多多的~~就不要偷懒了~~）它们分别是：1、状态一步预测方程：2、状态估计方程：3、滤波增益方程：4、一步预测均方误差方程：5、估计均方误差方程：（柴毅老师的ppt中还列举了方程3，5的其他形式，这里暂不讨论，有兴趣的同学自行查阅资料~~）机智的编程大神应该已经发现，这方程这样写，顺序似乎有点问题啊。编程的话，不是应该么14532么。嘿嘿，我个人感觉老师这样排还是有他的道理滴，至于为什么呢，后面再说~~好了，在熟练的背下以上五大基本方程后，我们开始真正重点的部

4、分——Kalman滤波基本方程的直观推导首先，我们来推导第一个方程——一步预测方程推导（）一步预测是根据时刻的状态估计预测时刻的状态，即根据个量测，对作线性最小方差估计。即：这里等号前后应用了等式1，且应该是······，那么，将上式展开就得到：根据等式1（）可知，只影响，所以与无关，且（性质那块）故：再根据BLUE估计（形式如注：感觉老师PPT这里打错了应该是可有：这里可能应该是因此，得证。在有了一步预测后，我们就可以利用状态估计方程来估计系统状态。那么我们就开始进行状态估计方程的推导。首先，我们容易知道，一步预测应该是会有误差的，那么，我们就定义用一步

5、预测代替真实状态所引起的误差为：因为量测方程（）中，我们用到了系统状态，故这里也会引起量测的估计误差，也就是：滤波理论中称为残差（也称新息）。容易想到，既然有残差，那么我们对预测状态进行残差补偿不就得了么。最常见的就是对残差加权然后加上原来的预测值，即：式中为对残差的加权阵，称为滤波增益阵。好，我们一不小心把方程2给推倒了。那么，问题又来了，这个得怎么确定呢？这就关系到了滤波增益方程。那我们就开始进行滤波增益方程的推倒工作。在推倒滤波增益方程之前呢，我们需要明确一下，卡尔曼滤波和维纳滤波都被称为是最佳线性过滤或线性最优估计，也就是说他们都是以估计的均方误差

6、阵达到最小为目标的。为了更好的阐明问题，我们先来介绍均方误差阵。我们就用来表示均方误差阵。这里为估计误差。考虑到等式1（）,我们有所以这里有很大一串，大家不要怕！其实就是矩阵的基本运算，因为都是参数所以提出了，其他的继续放在E里面求协方差。如果真的记不住，只需记，其他的临时推导即可（考试的时候，速度要快！）又由于是根据时刻前的量测对时刻的状态所作的估计，而是时刻的量测噪声。所以与不相关，并注意到，因此有带入前面的一大串，化简得：式中，那我们就先把估计均方误差方程给先推导了。现在，反过来继续推导滤波增益阵方程。老师PPT中这里有一段话，讲的不错，懒了，就先拷

7、过来。（不算侵犯版权把~~）若滤波增益阵偏离最佳增益阵的偏离量为，则由估计均方误差方程所确定的估计的均方误差将偏离最小值而达到，且为非负定阵，即（这个好理解，不可能比最小值还小嘛，所以）。那么，我们将和视为一个整体，代替和带入可得：注：感觉老师这里又打漏了，应该是：又因为，那么我们对上式进行展开，再减去就可以得到（这一步确实比较复杂，但是不困难，还是基本运算）式中若我们取即那么有：有因为我们希望可以达到最小，所以我们取此时至此，我们已经直接推导了四个基本，那我们就一鼓作气把最后一个给推倒了吧！感觉，读到这里，大家应该具备了独自推倒基本方程的能力了，那最后一

8、个方程我不多说，继续抄老师PPT~~进行一步预侧均方误差阵的推导：