江苏省无锡市锡山高级中学实验学校2019届高三12月月考数学试卷（附答案）

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1、江苏无锡省锡中2019届高三12月月考数学试卷（文）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．集合A＝{0，}，B＝{﹣1，0，1}，若AB＝B，则x＝．2．若复数（i为虚数单位，a＞0）满足，则a＝．3．某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45s，黄灯时间为3s，绿灯时间为60s，从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为．4．函数，[0，]的单调减区间为．5．执行如图所示的流程图，则输出S的值为．6．设正△ABC的边长为1，t为任意的实数，则的最小值为．7．已知，，且，则的最小值为．8．

2、已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．若该球的体积为，则该三棱柱的体积是．9．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：与直线相交于A，B两点．若△ABC为等边三角形，则实数m的值为．10．等差数列的前n项和为，已知，且数列也为等差数列，则＝．11．如图，已知抛物线与双曲线(a＞0，b＞0)有相同的焦点F，双曲线的焦距为2c，点A是两曲线的一个交点，若直线AF的斜率为，则双曲线的离心率为．第5题第11题12．在平面凸四边形ABCD中，AB＝，CD＝3，点E满足，且AE＝BE＝2．若，则的值为．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：，圆C：

3、，动点P在直线上的两点E，F之间，过点P分別作圆O，C的切线，切点为A，B，若满足PB≥2PA，则线段EF的长度为．14．已知函数．若对任意实数k，总存在实数，使得成立，则实数a的取值集合为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）在△ABC中，A为锐角，且sinA＝．（1）若AC＝5，BC＝3，求AB的长；（2）若tan(A﹣B)＝，求tanC的值．16．（本小题满分14分）在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AC，平面BB1C1C⊥底面A

4、BCD，点M、F分别是线段AA1、BC的中点．（1）求证：AF⊥DD1；（2）求证：AF∥平面MBC1．17．（本小题满分14分）为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD建成生态休闲园，园区内有一景观湖EFG（图中阴影部分）．以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy（如图所示）．景观湖的边界曲线符合函数模型．园区服务中心P在x轴正半轴上，PO＝百米．（1）若在点O和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊OM，求OM的最短长度；（2）若在线段DE上设置一园区出口Q，试确定Q的位置，使通道直线

5、段PQ最短．18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆C：的离心率为，并且椭圆经过点P(1，)，直线l的方程为x＝4．（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆内一点E(1，0)，过点E作一条斜率为k的直线与椭圆交于A，B两点，交直线l于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数，使得k1＋k2＝k3？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分16分）已知函数．（1）当a＝3时，求函数的单调区间；（2）若函数有两个极值点，，，且，(0，1]，求证：；（3）设，对于任意(0，2)时，总存在[1，2]，使成立，求实数k

6、的取值范围．20．（本小题满分16分）已知为等差数列，为等比数列，公比为q（q≠1）．令A＝．（1）设A＝{1，2}，①当，求数列的通项公式；②设，q＞0，试比较与（n≥3）的大小？并证明你的结论．（2）问集合A中最多有多少个元素？并证明你的结论．参考答案1．02．13．4．[，]5．64806．7．8．9．﹣1110．1911．12．213．14．{}15．（1）AB的长为4；（2）tanC的值为．16．（1）先由AB＝AC证AF⊥BC，再由平面BB1C1C⊥底面ABCD证AF⊥平面BB1C1C，从而AF⊥C1C，进而AF⊥DD1；（2）取BC1

7、中点N，连接MN、FN，先证FNC1C，从而FNA1A，进而FNAM，的平面MNFA是平行四边形，从而AF∥MN，最后即可证明AF∥平面MBC1．17．解：（1）设，则，当且仅当，即时取等号，∴的最短距离为.（2）过P作函数的切线，设切线的方程为，联立方程组，得，令得或（舍），∴直线的方程为，令得，∴.∴当时，通道PQ最短。18．（1）椭圆的方程为；（2）存在，的值为2．19．解：（1）当时，，令或，令，所以的递增区间为（0,1）和，递减区间为（1,2）（2）由于有两个极值点，则在上有两个不等的实根，设，所以所以在上递减，所以即，（3）有题意知，只

8、需成立即可，因为，所以，因为，所以，而，所以，所以在递减，当时，，所以在上恒成立，令，则在上恒成立.，又当时，在递减，当时