数学逆向思维的探究

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1、数学逆向思维的探究吴媛兴宁市第一中学514500摘要：学习数学就是要培养数学思维。在数学活动屮，思维是人脑与数学对彖的相互作用，而逆向思维是思维的一种重要形式，木文通过一些题目的解答来说明逆向思维的过程。关键词:发散思维逆向思维高屮数学新课程标准明确指出，思维能力主要指：会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概扌4会用归纳、演绎和类比进行推理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；能运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质。其屮要求最高的是发散思维。牛顿见到苹杲落地就能发现万有引力，他的思维是发散的，不是瞄着这个苹果熟了没冇，可不可以解饥之类的角度思考，而是

2、为什么会掉下来，而不会飞到天上去。一、桃花胜境何处寻——发散思维发散思维含义：发散思维又称扩散思维，辐射思维或求异思维。它是指一种沿着不同方向去思考，从一点向四面八方想开去，由已知探索未知的思维形式。它是一种多向开展的思维形式。它是一种开放性的思维，其过程是从某一点出发，任意发散，既无一定方向，也无一定范围。从同一信息源引发不同的结果。思维轨迹如图：它针对同一个问题，沿着不同的方向去思考，在思考中，它不墨守陈规，不拘泥于传统,不受已冇知识束缚，发散元没冇固定范围的局限，故而能够探求不同的、特异的解决问题的方法。发散思维的特点是灵嫩、迅速、流畅、思路开阔，它能随机应变，举一反三，触类旁通

3、，它能使人的思路摆脱旧的联系，克服心理定势，跳出〃常识〃框框，以前所未冇的新观点去洞察、分析事物，作出新的创见。发散思维可以使人思路活跃，思维敏捷，办法多而新颖，考虑问题周全，能扯出许多可供选择的方案、办法及建议、特别能提出一些别出心裁、一语惊人或完全出乎人意料的见解,使问题奇迹般地得到解决。二、柳暗花明又一村——逆向思维逆向思维是发散思维的一种重要形式。它是从已有的习惯思路的反方向去思考和分析问题。表现为逆用定义、定理、公式、法则；逆向进行推理，即顺推繁复时考虑逆求；反向进行证明，即直接解决较困难时考虑间接解决；从反方向形成新结论，即探讨可能性或存在逻辑困难时考虑探讨新的可能性(可称

4、为背向思维)等。逆向思维反映了思维过程的间断性、突变性和反联结性，它是摆脱思维定势，突破旧有思想框架，产生新思想，发现新知识的重要思维方式。例如法国数学家达朗贝尔(1717—1783)等人提出的四维几何，把吋间看成第四个维数，就是对传统的三维空间思想的逆向思维。从这个突破开始就开拓了高维儿何学的新领域。例1、已知双曲线的两个焦点为耳(・3,1)凡(5,7),且双曲线与y轴相切，求双曲线方程。解法一：设双曲线上的任一点为(x,y),根据双曲线的定义：“双曲线是到两个定点的距离Z差等于定长的点的轨迹。”再设此定长为加，则J(兀+3尸+()一1)2—/兀—厶尸+卜—了尸=±2d(1)题中说双

5、曲线与y轴即直线x二0相切，把x二0代入(1)得J(0+3)_+(y_l)2—J(0-5)2+()，-7尸=±2q=>9+(y—1尸=25+(y—7)2±4aj25+(y-7尸+4/=>3y-a2-16=±a^25+(y-7)2n(9-«2)j2+(8«2-96)y+(tz4-42tz2+256)=0(2)由相切可知方程(2)只冇一个解。当9-/=o时，即/=9=>。=3代入(2)能解到一个y值，满足条件。再把0=3代入(1)可以得到双曲线方程为4兀+3)，-25=±3J(x-5)2+(y-7尸即7x2+24xy-110x-24>—41=0(3)而(3)不是双曲线的方程，是抛物线的方程

6、，故qh3,即9-/h0,因而(2)是一元二次方程，要想只有一个解，必须△二0。即△二(8/—96)2一4(9_/)(/一42/+256)二0=>a6-35a4+250a2=0=>/-35/+250=0(・.・d>0)=>6=5,tz2=V10o当g=5时，代入(1)得J(x+3)2+(y_I)2一J(x—5尸+()，—7)2=±10=>4x+3y-41=±5j(x—5尸+(y—7)2=9/+16)“-24与+78兀-104y-456=0……(4)而(4)是椭圆方程，不是双曲线方程，故a=E代入(1)得到6x2-y2+24xy-108兀-16y-64=0,这就是所求双曲线方程。解法二：

7、现在我们用逆向思维来分析下，我们把圆锥曲线分成平而所成的包含焦点的部分称为曲线内部，而把不包含焦点的部分称为曲线外部。注意木题的条件，关键在于把“双曲线与y轴相切”的几何特征解析化。双曲线的定义：“双曲线是到两个定点的距离之差等于定长的点的轨迹。”从正面理解，就意味着双曲线上的任意一点到两个焦点的距离之差等于双曲线的实轴之氏。而从逆向理解定义就得：双曲线内部任意一点到它的两个焦点的距离Z差大于双曲线的实轴Z长；而双曲线外部任意一点到它的两个焦点