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1、第一章函数与极限Chapter1FunctionandLimit1.1映射与函数(MappingandFunction)一、集合(Set)二、映射(Mapping)映射概念(TheConceptofMapping)设X,Y是两个非空集合，如果存在一个法则/,使得对X屮每个元素x,按法则/,在丫屮有唯一确定的元素y与之对应，则称/为从X到Y的映射，记作LetX,Ybetwononomptysets,ifthereexistsarulefthatassociatesauniqueelementyofYtoeveryelement兀inX,then
2、fiscalledamappingfromXtoY,denotedbyfX-^Y.三、函数(Function)函数概念(TheConceptofFunction)设数集DuR,则称映射f：X^Y为定义在Q上的函数，通常简记为y=/(x),xe£>,其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作Df=DoLetthenumbersetDuR,thenthemapping/:XTYiscalledafunctiondefincdonD,usuallydenotedbyy=f(x),xEDfwherexiscalledanindependent
3、variable,yiscalledadependentvariable,Discalledadomain,denotedbyDf=D.1.2数列的极限(LimitoftheSequenceofNumber)一、数列极限的定义(DefinitionoftheLimitofSequenceofNumber)设｛£｝为一一数列，如果存在常数d，对于任意给定的止数£(不论它多么小)，总存在正整数N,使得当吋，不等式
4、心-°
5、<£都成立，那么就称常数G是数列｛£｝的极限，或者称数列｛£｝收敛于d,记为limx?J=a或xna(n—>oo)on->o)
6、Let{xn}beasequenceofnumber,Ifthereexistsaconstanta,suchthatforanygivenpositivenumber£,thereexistsapositiveintegerN,suchthatforeveryn>N,xn-a<€,thentheconstantaiscalledthelimitofthesequence,orwecallthatthesequence{xn}convergestoa,denotedbylimxn=aorxnTa{nToo)n—>oc二、收敛数列的性质(Pro
7、pertiesofConvergentSequence)定理1(极限的唯一性)如果数列{£}收敛，那么它的极限唯一。Theorem1(UniquenessofLimit)Ifthesequence{xn}isconvergent,thenitslimitisunique.定理2(收敛数列的有界性)如果数列{%}收敛，那么数列{£}必定有界。Theorem2(BoundednessofaConvergentSequence)Ifthesequence{xn]isconvergent,then{xnJisbounded・定理3如果0(或gvO),
8、那么存在止整数N>0,当n>N时，都"TOO有X”>0(或<0)oTheorem3Iflimxn=a,anda>0(or(2<0),thenthereexistsapositiven->oointegerN,suchthatxn>0(或xn<0),foreveryn>N.定理4(收敛数列与其子数列间的关系)如果数列{%}收敛于G,那么它的任一子数列也收敛，且极限也是0。Theorem4(RelationofaConvergentSequencebetweenitsSubsequence)Ifthesequenceconvergestoa,th
9、enanyofitssubsequenceisalsoconvergent,andthelimitisalsoa.1.3函数的极限(LimitofFunction)一、函数极限的定义(DefinitionofLimitofFunction)1.自变量趋于有限值时函数的极限(DefinitionofLimitofFunction(asxTendstoaRealNumberx0)).定义1设函数/（兀）在某个包含勺的邻域内有定义（可能在X。无定义），如果存在常数A,对于任意给定的正数总存在正数使得当兀满足不等式0<卜-兀。
10、<》时，对应的函数值/
11、(%)都满足不等式f(x)-Avg那么常数A就叫做函数/(%)当兀T心时的极限，记作lim/(x)=A或f(x)A(当兀Tx。)。XT勺Definition1L
