《高等数学》课程学习指导与讨论题

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1、《高等数学》课程学习指导与讨论题第四章无穷级数无穷级数是数学分析的重要组成部分。以形式上看，它是有限项数或函数相加向无限项数或函数相加的推广。这种推广是出于表示函数、研究函数性态和计算函数值的需要，我们学过泰勒公式，利用泰勒公式，我们可以把一个给定的函数用多项式即有限个整幂函数之和近似表示。如果其余项，那么这个给定的函数便可用无穷多个整幂函数之和即一个无穷级数来表示。从而可以通过这一无穷级数来研究函数的性态，计算函数值。讨论无限项之和是一个崭新的问题，它与有限项之和有本质的差异。不难预见，从有限项求和到无限项求和必然涉及极限概念，无限项是否有和的问题就是无穷级数

2、的收敛与发散问题。它也是无穷级数的一个核心。有限项求和的运算和性质绝不能不加条件地用于无限项求和。这一点同学们务必特别注意，应该通过常数项级数与函数项级数去认真体会从有限项推广到无限项的思想方法，比较有限项求和与无限项求和在运算和性质上的异同。在本章的学习中，同学们应当熟练地判定级数的敛散性，会求一些简单收敛级数的和，并能较熟练地将给定函数展开成幂级数或富氏级数。本章教学实施方案总学时20学时讲课14学时：常数项级数（4学时）；函数项级数(2学时)；幂级数(4学时)；Fourier级数(4学时)。课堂讨论2学时习题课4学时：常数项级数(2学时)，幂级数及Four

3、ier级数(2学时)。第一节常数项级数一、教学内容常数项级数的概念与性质，Cauchy收敛原理，正项级数的审敛准则。交错级数与Leibniz准则，绝对收敛与条件收敛。二、教学要求61．领会级数与其部分和数列之间的关系及其收敛与发散的定义。2．掌握常数项级数的有关性质。3．理解并会使用Cauchy收敛原理。4．能熟练的应用正项级数的两个比较准则，特别是DˊAlembert准则和Cauchy准则来判定级数的敛散性。5．了解积分审敛准则6．熟练掌握交错级数审敛的Leibniz准则。7．理解级数的绝对收敛与条件收敛的概念，会判定绝对收敛性和条件收敛，了解绝对收敛级数的性

4、质。第二节函数项级数一、教学内容函数项级数的逐点收敛与一致收敛的概念，一致收敛的M判定准则，一致收敛级数的性质。二、教学要求1．理解函数项级数的收敛点与发散点的概念，会求其收敛域。2．理解逐点收敛与一致收敛的本质差异；会用Ｍ判别法判定函数项级数的一致收敛性。3．了解一致收敛级数的性质。第三节幂级数一、教学内容幂级数及其收敛半径、收敛区间和收敛域，幂级数的性质，函数展开成幂级数，幂级数的应用。二、教学要求1．在Abel定理的基础上理解幂级数收敛半径的概念。2．能熟练的求收敛半径并讨论收敛区间端点处级数的敛散性。63．理解幂级数的性质，并会运用这些性质求和函数。4．

5、理解Taylor级数与Maclaurin级数，熟悉几个初等函数，，，，的Maclaurin展开式。5．能熟练的利用几个初等函数基本展开式和幂级数的运算性质，将给定的函数展开为幂级数。6．会借助幂级数作近似计算。7．了解Eular公式。第四讲Fourier级数一、教学内容周期函数与三角级数，函数系的正变性与Fourier级数，周期为的函数的Fourier展开。周期为函数的Fourier级数展开，定义在[0,]上函数的Fourier展开，奇延拓与偶延拓，Fourier级数的复数形式。二、教学要求1．理解将函数展成Fourier级数的含义及其意义。2．理解函数系正交性

6、概念，理解三角函数系的正交性在Fourier级数中重要地位，并会导出Euler-Fourier公式。3．能熟练地把周期为的函数展成Fourier级数，并确定其收敛情况。4．正确理解周期为函数以及定义在[0,]上函数展开的含义。5．正确理解延拓的思想，并能熟练进行奇延拓和偶延拓函数的展开。6.了解Fourier级数的复数形式。6第六次讨论题1．下列命题哪些成立？那些不成立？为什么？1）若收敛，则收敛；2）若收敛，则收敛；3）若收敛，则收敛；4）若正项级数满足，则收敛；5）若正项级数收敛，则6）若，则与同敛散；7）若且与都收敛，则收敛。2.就级数和都条件收敛、一个条

7、件收敛一个绝对收敛、两个都绝对收敛三种情况分别讨论级数是条件收敛还是绝对收敛？3.若幂级数在处条件收敛，那么幂级数在处是绝对收敛？条件收敛？还是必发散？4．有限个数的和成立“结合律”、“交换律”、“分配律”，无限个数的和是否仍有相应的规律呢？试研究这三个规律对无限个数的和，即无穷级数成立的条件。5．有限个函数的和仍保持各相加函数许多重要的分析性质，诸如(1)有限个连续函数的和仍为连续函数；6(2)有限个可导函数之和仍为可导函数，且和函数的导数等于各个函数导数的和；(3)有限个可积函数之和仍为可积函数，且和函数的积分等于各个函数积分之和；无限多个函数之和，即函数项

8、级数的和函数，是否也有这