《高等数学》讨论题与练习题

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1、第一章函数、极限、连续第一次讨论题及练习题1．下列说法能否作为是数列的极限的定义？(1)对任给的，，使得当时，不等式成立；(2)对于无穷多个，存在，当时，恒有成立；(3)，，当时，有无穷多项，使成立；(4)对给定的，不等式恒成立。2．说明下列表述都可作为是极限的定义。(1)，，当时，恒有成立；(2)，，当时，恒有成立；(3)，存在，当时，恒有成立，其中是正常数。3．若与是两个发散系列，它们的和与积是否发散？为什么？若其中一个收敛，一个发散，它们的和与积的收敛性又如何？4．用语言表述不收敛于。5．下列计算

2、方法是否正确？为什么？(1)；(2)设，若，因为，两边取极限得，从而必有，故。6．证明：设，则，使，。7．下列结论是否正确？若有正确，请给出证明；若不正确，请举出反例。(1)若，则；(2)若，则()；(3)若，则；(4)若，则；(5)若，则；(6)若对任何实数，，则8．用定义证明下列极限(1)；(2)若有界，，则。9．设由数列的奇数项与偶数项组成的两个子列收敛于同一个极限，证明也收敛于。10．试证明：若，，则。11．证明：任何实数都是某个有理数列的极限。12．单调有界收敛准则中，若“数列单调增(减)”改

3、为“从某一项之后单调增(减)”结论成立吗？数列是否收敛？若收敛，试求其极限值。课外作业：1．完成上述讨论题中尚未讨论的题；2．习题1.3，(A)．2．(5)；10．(1)(3)；11．(4)　(B)．4．(3)，(4)；6；8；3．指出下面的作法是否正确？为什么？∵，()∴，从而第二次讨论题及练习题1．写出下列极限的定义　　　　(1)　　　　　　　　(2)　时，2．试用语言来表述当时不收敛于。3．证明。4．用极限的定义证明。5．用语言给出时是无穷小量的定义。6．下列命题是否正确？若正确，请给出证明；若不

4、正确，请举出反例。　　　　(1)若与都存在，则存在；(2)若与都存在，则必存在。7．利用两个重要极限求下列极限。　　　　(1)；　　　　　　　(2)　。8．下列说法是否正确？为什么？　　　　(1)无穷大量一定是无界变量；(2)无穷大量与有界量的乘积是无穷大量。9．利用无穷小的等价代换求极限。10．证明：函数在连续在既左连续又右连续。11．两个在处不连续函数之和在是否一定不连续？若其中一个在处连续，一个在处不连续，则它们的和在处是否一定不连续？12．证明：若连续，则也连续，逆命题成立吗？13．讨论函数的连

5、续性，若有间断点，判别其类型。14．证明：函数在处连续，，有。15．证明方程至少有一个正根。16．若在上连续，，则在上必有，使。17．证明：若在内连续，且存在，则必在内有界。课外作业：1．完成讨论题中尚未讨论的题。2．判别下面的作法是否正确？为什么？3．习题1.4．12．(1)，(3)．13．(8)，14．(1)．习题1.5．4．(1)，5．(1)习题1.6．9．(3)，10．(1)，13．(1)4．证明方程，其中，，至少有一个正根，并且它不超过。第二章导数及其应用第一次讨论题1．设在的某邻域内有定义，

6、则在处可导的一个充要条件为。A)存在，B)存在，C)存在，D)存在。2．若在处左可导且右可导，试问：函数在处连续吗？反之如何？3．1)如果在处可导，那么是否存在的邻域？在此邻域内一定可导2)如果在点处可导，那么是否存在的一个邻域，在此邻域内一定连续？4．可导的周期函数的导数还是周期函数吗？非周期函数的导函数一定不是周期函数吗？5．设有分段函数，其中和均可导，问是否成立？为什么？6．导数与微分之间的区别与联系是什么？7．能否用下面的方法证明Cauchy定理？为什么？对，分别应用Lagrange定理得：8．

7、1)若Rolle定理的三个条件中有一个不满足，试问Rolle定理的结论是否一定成立？为什么？2)设，且在内可导，试问：Rolle定理的逆命题成立吗？即，若，使，是否一定存在，，使？3)如果将Rolle定理中的条件改为：在内可导，和存在且相等，Rolle定理的结论还成立吗？为什么？9．1)证明微分中值定理(Lagrange定理、Cauchy定理)的主要思想方法是什么？微分中值定理主要揭示了什么？2)微分中值定理可以用来解决哪些相关问题？3)构造辅助函数的方法有哪几种？10．设在处二阶可导，则试问：1)以上

8、解法是否正确？为什么？　　　　2)正确的解法是什么？3)如何改变原题设条件，才能使以上解法正确？11．1)运用LHospital法则能求哪些类型极限？2)运用LHospital法则求极限时应注意哪些问题？第二次讨论题及练习题1．已知在其定义域内可导，它的图形如右图所示，则其导函数的图形为：2．如果，由此可以断定在的某邻域内单调增吗？为什么？3．如果函数在处取极大值，能否肯定存在点的邻域，使在左半邻域内单调增，而在右半邻域内单调减？4．函数在