《高等数学》课程学习指导与讨论题(共享)

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1、《高等数学》课程学习指导与讨论题第五章多元函数微分学及其应用在理论研究和实际应用中，经常遇到具冇两个或两个以上自变量取值为数量或向量的函数，就是多尤数量值函数与多兀向量值函数，统称为多元函数，木章研究多元函数微分学的基本概念、理论和方法以及它们的应用，包折多元函数的极限与连续性。导数（方向导数，偏导数与梯度）与全微分等基本概念，多元函数微分法、极值问题以及多元函数微分学的一些几何应用。多元函数微分学中的基本概念、理论和方法是一元函数相应概念、理论和方法的推广和发展，因此它们之间既有相同之处，又有许多木质上的不同，同学们在学习这部分内容的吋候,既要注意它们的相同点和互相联系，更要注意它们之间的不

2、同点，善于将它们进行比较，研究推广到多元函数Z后出现的新情况和新问题以及为什么会出现这些弟异，有能力的同学还应注意推广的方法，以提高口己分析和解决问题的能力。本章教学实施方案（总计30学时）讲课：24学吋分1.n维Enclid空间中点集的初步知识（2学时）2.多元函数的极限与连续性（2学时）3.多元数量值函数的导数与微分（7学时）4•多元函数的Taylor公式与极值问题（4学时）；5.多元向量值函数的导数与微分（3学时）；6.多元函数微分学的几何应用（3学时）7.空间曲线的曲率与挠率（3学时）。习题课：4学吋1•多元函数极限、连续、偏导数与全微分（2学吋）；2.多元函数的极值与多元微分在儿何中

3、的应用（2学时）。讨论课：2学时多元函数极限、连续、偏导数、方向导数、梯度、全微分的概念及联系门多元函数在极值问题中与几何方面的应用。第一节n维Enclid空间中点集的初步知识一、教学内容与重点中点列的极限与点集的初步知识。二、教学要求1.理解n维欧氏空间川屮点列极限的概念及性质，了解它们与一维空间屮数列极限概念及性质的异同。1.知道/?"中的开值（含集合的内点与内部），闭集（含集合的聚点及导集），区域冇界闭集（即紧集）等常用的几个概念并能识别一些常见集合的开闭性，连通性。第二节多元函数的极限与连续性一、教学内容与重点多元函数的概念（多元数量值函数与多元向量函数）；多元函数的极限（重点讲二重极

4、限）:多元函数的连续性（重点讲二元连续函数）及其性质。二、教学要求1.理解多元函数有多元数量值函数与多元向量值函数Z分。2.正确领会二重极限的概念，它与一元函数极限的异同，理解二重S重）极限定义中为什么要求（兀0，儿）（或和，兀02,…5）为A的一个聚点。3•止确理解利用二重极限定义说明二重极限不存在的方法，会求较简单的二元函数的二重极限。4.正确理解二元（多元）函数的连续与间断的概念。5.理解〃元向量值函数极限与连续性的定义。6.知道冇界闭集上多元连续函数的冇界性，最大最小值定理及冇界连通闭集上多元连续函数的介值定理。第三节多元数量值函数的导数与微分一、教学内容与重点方向导数与偏导数的定义及

5、几何意义；全微分的概念，函数可微的必要条件与充分条件，全微分在近似计算与误差估计中的应用；梯度的概念，运算法则及其与方向导数的关系；高阶偏导数;多元复合函数的链式法则（重点二元函数）与全微分，一阶全微分形式不变性，由一个方程所确定的隐函数的微分法，由方程组所确定的隐函数的微分法。二、教学要求1.正确理解方向导数与偏导数的定义和几何意义，理解方向导数与偏导数之间的关系，理解多元函数在一点处方向导数、偏导数都存在不能保证函数在该点连续。2.正确理解多元函数在一点处可微与全微分的定义。3.理解并熟记多元函数在一点处可微、方向导数存在、偏导数存在与连续之间的关系。4.熟悉利用偏导数求全微分的公式，会用

6、全微分计算函数的近似值并能佔计误差。5.正确理解梯度的概念及其与方向导数的关系，熟悉梯度的运算，并会求函数的梯度。6.熟悉多元函数（重点是二元函数）的高阶偏导数（重点为二阶偏导数）及混合偏导数相等的条件。7.正确掌握和使用链式法则求多元复合函数的一阶与二阶偏导数的方法，特别是会求由抽象函数的复合而成的复合函数的偏导数，耍求同学们通过做一定数量的习题，体会掌握该方法的关键在于弄清函数的复合关系。&理解一阶微分形式不变性，并会用它求复合函数的一阶全微分与偏导数。9.知道由一个方程所确定的隐函数的存在定理，并能正确求出隐函数的一、二阶导数。10.会求由方程组所确定的隐函数的一阶导数。第四讲多元函数的

7、Taylor公式与极值问题一、教学内容与重点多元函数的Taylor公式（重点是二阶Taylor公式），多元函数无约束极值的必要条件与充分条件，最大最小值问题，有约束极值的Lagrange乘数法。二、教学要求1.熟悉多元函数的二阶Taylor及其向量形式，理解其中的一阶项系数为函数的梯度，二阶项为二次型，其对应的矩阵为函数的Hessian矩阵。1.能止确使用极值的必耍条件与充分条件求出极值点并判定其