错例剖析：完善认知结构的有效手段(修正)

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1、错例剖析：完善认知结构的有效手段——谈一类等可能性事件概率的求法《小学数学教学参考》上刊载的罗增儒教授的一系列“解题分析”，处处闪耀着智惹的光芒，像一•份丰盛的思维营养大餐哺育着广大数学教师。罗教授侶导把解题失误作为教学资源來开发，认为这是“提高解题能力、完善认知结构的一个极好机会”（文［1］）。本文就试图在罗教授的“四点基本态度”指导下，分析一类等可能性事件的概率问题的误解原因，并从中提炼岀一些求解应注意的基木原则。1一类题目，不同书籍上三种互相矛盾的解法1.1教辅资料上的一道常规题案例仁教辅资料［2］P®中有题：将n只球随机地放入N（NMn）个盒子屮去，则每个盒子至多有一只球的概率是（）A

2、、如；B、—；C、掘；D、复NnC；Nfl加Cn［解析］P（A）=7Nn［答案］C（引文完）1-2同一资料，两种解法案例2：教辅资料［3］P233屮例&设n个相同的球，每个球都以同样的可能性落入N个格子（N2n）的每一个格子中，求任意n个格子中各有一个球的概率。思维入门指导：n个相同的（不可分辨）球，试验结果情况是与格子中球的个数冇关，不同个数的分布为不同情况。解：考虑1・1・1・1・・・1这种情况，N个格子相当于中间有N—1个隔板（加上两端的两个隔板，N+1个隔板构成N个格子），中间的N-1个隔板和n个球共有n+N-l个位置，从n+N-l个位置屮找到N—1个位置放隔板，其余位置放球就构成了一

3、种放法。试验结果共有CX1利任意“个格子中各有一个球有C；^中。故所求概率为p（A）=_淖。C"+N_l点拨：木解法创新Z处在于把固定的格了看“活”，相当于由隔板构成，这样n个球和N—1个隔板共n+N—1个位置，在这些位置上放隔板即得到N个格子，其余位置放球，问题比较容易求得。（引文完）案例3：教辅资料［3］P23o屮例3：设n个球，每个球都以同样的等可能性落入N个格子（N2n）的每一个格子中，试求：（1）、略；（2）、任何n个格子中各有一个球的概率。解：每个球可落入N个格了中的任何一个，所以n个球在N个格子中的分布相当于从N个元素中选取n个进行有重复的排列，故共有N"种可能分布。（1）、略。

4、（2）、从N个格了中任选n个有C：种，对于每种选定的n个格了，n个球全排列冇n!种，故所求概率P（A）=器种。点拨：解决此类问题，要特别注意题目屮的条件与设定，如本题屮的球可落入任何一个格了，但也只能落入一个格了，而一个格了可以落入任何一个球或几个球。（引文完）1・3最新观点，需分类讨论案例4：文［4］中有例：n个球随机地放入N个不同的盒子中（nWN）,求下列事件的概率：（I）指定的n个盒子小各放一个球；（II）恰好有n个盒子，其中各放一个球。分析题设中没冇指出n个球是否相同（可分辨和不可分辨），故要分情况进行讨论。解（1）当n个球是可分辨时，……（略）。（2）当n个球是不可分辨（即完全相同）

5、时，则只需考虑盒子中球的个数，不考虑放的是哪儿个球，我们可川“隔板模型”解之。N个球随机地放入N个不同的盒子的放法相当于在n个球和N-1块隔板共n+N-1个位置中选定N-1块隔板的位置，故共有=C；：+、种放法。（I）指定的n个盒了中各放一个球的放法只有1种，故卩=1Q1「no（引文完）（【I）恰好冇n个盒了，其中各放一个球的放法冇C席种，故匕=£_以上四个案例，题冃中所需求事件虽说法不同，但实质是一回事。题冃的差界主要来源于已知条件：“n个球”与“n个相同球”。三个案例屮，答案各不和同，有一点我们敢肯定,那就是儿个案例不会全是正确的。我们事先将案例1交给学生完成，绝大多数就学生都不约而同地用

6、了案例1中的解法,少数思维敏捷的学牛认为：如果球相同，则案例1中的选项C正确；若球不同，案例1中的选项A正确。学生的认识无法统一，就连教师对之也有所争•论（几种教辅资料上的矛盾解法就是最有力的证据）。我们认为面对儿种分歧很冇必要对学生做出释疑工作，以澄清模糊认识，进而探寻求等可能性事件的概率的本质。2.面向学生，对各案例进行剖析而对以上各案例，我们的首先必须解决的疑问是：在等可能事件的概率计算屮，元素札I同与不同对概率是否有影响？即“相同球”与“不同球”在解法上到底有没有区别？学生认为：若无影响，则几个案例中的答案应该相等；若有影响，则案例1M案例3至少应分情况讨论。2.1对案例2的具体化而对

7、屮学生，以上案例确实有些抽象。为了化难为易，我们采用数学屮常用的手段，给以上案例中各字母赋值，使其具体化。在案例1中，若令n=2,N=3,则题目变为:将2只球随机地放入3个盒了中去，则每个盒了至多有一只球的概率是（）D.X、对球不同的情况，学牛都不会怀疑：每个球以等可能的机会放入3个盒子，则第一个球有3种放法，第二个球有3种放法，根据分步计数原理，共9种放法。而每个盒子至多一球的放法，对应着从3个