定积分习题课1

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1、定积分习题课主要内容函数的可积性理论；可积的定义;可积的条件可积的性质微积分基本定理;定积分的计算;可积性理论可积的定义:(1)Riemann和:设P:为上的一个划分,对每个小区间任取一点和式称为在上的Riemann和.(2)定积分定义:设若有则称f(x)在[a,b]上可积.记为可积性理论可积条件:(1)必要条件:f(x)在[a,b]上有界.(2)充分条件:[a,b]上的连续函数可积;[a,b]的单调有界函数可积;[a,b]上只有有限个第一类间断点的有界函数可积;[a,b]上具有无限多个间断点,但这些间断点的聚点个数有限的有界函数可积.

2、可积的充要条件第一充要条件:有界函数f(x)在[a,b]可积第二充要条件:有界函数f(x)在[a,b]可积第三充要条件有界函数f(x)在[a,b]可积例子对于有无限多个间断点的函数,用第三个充要条件讨论较容易.例如,证明f(x)在[0,1]上可积注:由以上例题和Riemann函数的可积性可得到Riemann可积的函数可以有无限多个不连续点.因此有如下扩展的结论:函数f(x)在[a,b]上有界,如果f(x)的不连续点可以用总长度任意小的至多可列个开区间覆盖,则f(x)可积.说明:有理数在数轴上处处稠密,但仍然可以用总长度任意小的开区间族来

3、覆盖.例子设f(x)在[a,b]上可积,f(x)∈[A,B],g(u)在[A,B]上连续,则复合函数g(f(x))在[a,b]上可积.(已证明过).(?思考):当外层函数g(u)仅可积时上述结论是否还成立?练习题(1)f(x)在[0,1]上是否可积?其中(2)在[a,b]上,f,

4、f

5、,f2可积性之间的关系.(3)设f(x)在区间[a,b]的每一点的极限都存在且为零，证明：f(x)在[a,b]上可积,且积分值为零.定积分的性质积分第一中值定理:f(x)和g(x)都在[a,b]上可积,g(x)在[a,b]上不变号,则存在特别地,(1)当f

6、(x)连续时,存在(2)当练习题(1)不计算积分,判断积分的符号:(2)(A)为正常数;(B)为负常数;(C)恒为零;(D)不为常数.(3)证明(4)设f(x),g(x)是[a,b]上的正值连续函数,求证ThefundamentaltheoremofthecalculusPart1Theorem7.3.1Letbeintegrable,thenisacontinuousfunctionon;Ifiscontinuouson[a,b],thenisdifferentiableon[a,b],andPart2Theorem7.3.2Letf

7、(x)becontinuousfunctionon[a,b]andF(x)beaprimaryfunctionoff(x),then?!!思考(1)可积函数是否一定有原函数?(2)有原函数的函数是否可积?(1)未必.例如(2)未必,例如f(x)在[-1,1]的导函数推广的Newton-Leibniz公式(1)设f(x)在[a,b]上可积,F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内除有限个点外,都有F’(x)=f(x),则(2)设f(x)在[a,b]上可积,F(x)在[a,b]上只有有限个跳跃间断点,除有限个内点C1

8、外,在[a,b]的其它点都有F’(x)=f(x),则定积分的计算例子:(1)设f(x)在[0,1]上连续,证明: