定积分(辅导班、习题课

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1、123456789101112131415165.积分恒等式的证明解法思路:（1）变量代换公式和分部积分公式本身就是高度普遍性的积分等式，亦可用来推出其它积分等式；（2）视为变限积分函数问题，转化为导数的应用问题。（3）用中值定理1718196.积分不等式的证明与积分等式的证明对应，解法思路:（1）通过定积分估值性质比较大小；（2）视为变限积分函数问题，转化为导数的应用问题－－函数的单调性；（3）利用重要不等式，如柯西不等式：2021227.积分中值问题解法思路:通常是积分中值定理、介值定理和微分中值定理的联合使用。2324定积分的应用1.定

2、积分的应用几何方面:面积、体积、弧长、表面积.物理方面:质量、作功、侧压力、引力、2.基本方法:微元分析法微元形状:条、段、带、片、扇、环、壳等.转动惯量.25例1.设非负函数曲线与直线及坐标轴所围图形(1)求函数(2)a为何值时,所围图形绕x轴一周所得旋转体解:(1)由方程得面积为2,体积最小?即故得26又(2)旋转体体积又为唯一极小点,因此时V取最小值.27例2.（0702）设D是位于曲线下方、x轴上方的无界区域。求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a);(II)当a为何值时，V(a)最小?并求此最小值.2829解：(I)==(II

3、)得即a=e（唯一的驻点）30故所求旋转体体积为例3.求由与所围区域绕旋转所得旋转体体积.解:曲线与直线的交点坐标为曲线上任一点到直线的距离为则31例4.半径为R,密度为的球沉入深为H(H>2R)的水池底,水的密度多少功?解:建立坐标系如图.则对应上球的薄片提到水面上的微功为提出水面后的微功为现将其从水池中取出,需做微元体积所受重力上升高度32因此微功元素为球从水中提出所做的功为“偶倍奇零”33例5.设有半径为R的半球形容器如图.(1)以每秒a升的速度向空容器中注水,求水深为为h(0

4、部抽出所做的功最少应为多少?解:过球心的纵截面建立坐标系如图.则半圆方程为设经过t秒容器内水深为h,34(1)求由题设,经过t秒后容器内的水量为而高为h的球缺的体积为半球可看作半圆绕y轴旋转而成体积元素:故有两边对t求导,得at(升),35(2)将满池水全部抽出所做的最少功为将全部水提对应于微元体积:微元的重力:薄层所需的功元素故所求功为到池沿高度所需的功.36解在端面建立坐标系如图3738