分类讨论的思维策略在解题中的应用1

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1、分类讨论的思维策略在解题中的应用2009高考数学复习宜昌市夷陵中学徐东屮学数学屮的绝对值，指数和对数函数的单调性，不等式性质和解法，等比数列的前n项和公式，直线的倾斜角和斜率、直线系、圆锥曲线的统一定义，排列纽•合应用，二次函数在某动区间上的最值问题等都是分类给出的。要弄清限制条件，由概念的内涵和限制条件按规定分类。分类讨论实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”的思维策略。用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程:明确讨论的对象和动机一确定分类一逐类进行讨论一归纳综合结论一检验分类是否完备。一、有些概念、性质、公式本身就是分

2、类给出的，运用时应按规定分类，再按常规方法求解。例1(2006年江苏卷)设日为实数，记函数/⑴匚7++的最大值为M。(I)设t=J1+X+Jl-x,求广的取值范围，并把表示为广的函数加&)；(II)求g(日)(III)试求满足g(丄)的所有实数日a【思维展示】换元化归二次函数和分段函数区间上的问题，研究对称轴和区间的关系合理分类切入，(I)vr=Vl+x+VTTx,・•・要使r有意义，必须1+兀》0且1—兀》0,即—1SXS1•:t2=2+2a/1-x2e[2,4]，Hr>0……①・・.f的取值范围是[V2,2]o由①得:Vl

3、-x2=-12-,:.m(t)=a(-t2+t=-at2+t-a,tg[V2,2]o222(11)由题意知g(a)即为函数m(t)=^at2-a,虫[血,2]的最大值，・・•直线r=—丄是抛物线加⑴=丄〃2+t_a的对称轴，.••可分以下儿种情况进行讨论：a2(1)当a>0时，函数y=m{t),te[V2,2]的图象是开口向上的抛物线的一段，由/=一~-v0知加(/)在re[V2,2]上单调递增,故g(a)=m(2)=a+2；a(2)当a=0时，m(t)=t,te[a/2,2],冇g(a)=2；(3)当avO吋，，函数y=m

4、(r),tg[V2,2]的图象是开口向下的抛物线的一段，若r=——g(0,V2]即a5时，g(a)=m(V2)=V2,a2若『=€(V2,2

5、即aw时，g(a)=/n(-—)=-a——，a22a2a若f=——G(2,4-00)即6ZG(——,0)时，g(a)=7?2(2)二G+2。a2综上所述，有g(d)二(G>—*)1°vaSp)V2Q-丁)(ITT)分段函数值域问题，依据分段的意义合理分类，1O当a〉——吋，g(a)=q+2〉一>V2:22当一—

6、22ag(a)=-a-—>2.1(-a)•(——―)=V2,故当a>时，g(a)>V2:2aV2d2当a>0时，一>0,由g(a)=g(丄)知：。+2=—+2,故(7=1；aaa当avO时，a•丄=1,故a<-1或一5-1,从而有g(ci)=V2或g』)=血,aaa扫-¥，即-逅—豊,此时,1J?耍使g(a)=g(—)，必须有dW——-a2g(a)=血=g(丄)oa综上所述，满足g(d)=g(丄)的所有实数臼为：一血5-返或0=1。a2【评注】本题主要考查函数、方程等基本知识，更考查分类讨论的数学思维方法和综合运用数学知识分析

7、问题和解决问题的能力，应注重概念，公式，两数性质中的分类原则和方法的积累。二、有些问题在推导过程中，在不同条件下有不同结论，就必须区分不同情况分别讨论。s例2己知等比数列的前n项和为％前十和为⑴，公比猝严亍"求更叭。公比q为参数，用公式求和需分类，用重要极限结论也要分类。n(1)当q=1时,Sn=%Sn+1F+llim7^=lim=1“—>8H—>O)fq+

8、i_q从1-严)(2)当Xi时,,再分类。limT=1①0l时,9o综上HmTnz/,iIimqn【评注】等比数列求和公式应按公比q=1和分类推导

9、，求”时，应按q<,q=Uq=^q>1分别求解，一般数列的切入点更体现如何分类的问题，这是求解数列及数列极限小的常见的分类方法。%1.由于参数和已知条件相对关系不确定而导致分类例3设k为实常数，问方程（87）*+伙-4）b=（8-灯伙-4）表示何种曲线？变形试图化归标准方程，借助参数的不同取值，合理分类切入，亠丄-1方程可化为—48_k,但这需k$4且还需考虑伙一4）（8-幻的正负引起曲线类型的不同，同时应注意I员1的特殊性，则分界点k=4,6,8o所以k应分成6类。方程表示的曲线为〔直线（k=4或8）,圆（k=6）

10、,"椭圆（4