分类讨论思想在解题中的应用

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1、分类讨论思想在解题中的应用主讲人：黄冈中学高级教师　汤彩仙一、复习策略　　分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位．　　所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．1.分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点　　⑴分类讨论

2、的思想具有明显的逻辑特点；　　⑵分类讨论问题一般涵盖知识点较多，有利于对学生知识面的考察；　　⑶解决分类讨论问题，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧；　　⑷分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关．2.分类讨论的思想的本质　　分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略．3.运用分类讨论的思想解题的基本步骤　　⑴确定讨论对象和确定研究的区域；　　⑵对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；　　⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；　　⑷归纳总结，整合得出结论．4.明确分类讨论的思想的

3、原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有：　　⑴由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前n项和公式等等；　　⑵由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘以实数对不等号方向的影响等等；　　⑶由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；　　⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；　　⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；　　⑹其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用

4、题等．5.分类讨论思想的类型　　⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；　　⑵问题中的条件是分类给出的；　　⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；　　⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的．二、典例剖析例1、（2007·上海）直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若，则k的可能值个数是（　）　　　　A．1　　　　　B．2　　　　C．3　　　　　D．4解析：　　由（2，1），（3，k），得（1，k－1），　　由于为直角三角形，则，，都可能为直角，　　由向量数量积为0，分别有或或，　　解得或．答案：B点

5、评：　　本题主要考查向量运算及向量垂直的判定，也考查了学生分类讨论思想能力，引起分类的原因是直角三角形直角的不确定，但有的学生也可能想到位置有三种情况，故主观认为有三个值，这也是值得思考的．例2、将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（　）　　　A．　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．解析：　　连续掷三次骰子出现点数的方法总数为种，其中公差为0的等差数列有6个，公差为1或－1的等差数列有个，公差为2或－2的等差数列有个，所以满足条件中的概率为．答案：B点评：　　本题主要考查概率基础知识，排列组合知识和等差数列的性质，由于取出的三个数

6、成等差数列，则三个数由于顺序且公差不确定，所以需要分类进行计数．例3、（2007·陕西）已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．　　（1）求椭圆C的方程；　　（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求面积的最大值．分析：　　圆锥曲线方程的确定要了解其中参数字母具有的几何意义，掌握字母间的基本关系．解：　　（1）设椭圆的半焦距为c，依题意，∴所求椭圆方程为．　　（2）设，．　　①当轴时，．　　②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为．　　由已知，得．　　把代入椭圆方程，整理得，　　，．　　　　　　．　　当且仅当，即时等号成立．当时

7、，，综上所述．　　∴当

8、AB

9、最大时，面积取最大值．点评：　　本题考查圆锥曲线的方程和直线与圆锥曲线间的位置关系．对于直线方程，根据斜率存在与否是本题产生讨论的原因．例4、（2007·海南、宁夏）设函数．（1）若当x=－1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于．分析：　　函数的极值、单调性是函数的重要性质．极值问题的解决，需要利用导数知识判断在该点两侧函数的单调性；而函数单调性的讨论则需要考察相应导数的符号问题．解：　　（1），依题意有，故．　　从而．的定义域为．　　当时，；　　当