分类讨论思想在解题中的应用(新课标

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1、分类讨论思想在解题中的应用一、知识整合1•分类讨论是解决问题的i种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对彖，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对彖不能进行统一研究时，就需要对研究对彖按某个标進分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。3.分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。4.分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，

2、确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。5.含参数问题的分类讨论是常见题型。6.注意简化或避免分类讨论。二、例题分析例1.一条直线过点（5,2）,且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为（）A.兀+y—7二0B.2兀一5y=0C.x+y-7=0或2x-5y=0D.x+y+7=0或2y-5兀=0分析：设该直线在x轴，y轴上的截距均为a,2当沪0时，直线过原点，此时直线方程为）'=丁兀，即2兀—5y=0；当a^O时，设直线方程为兰+丄二1,则求得d=7,方程为x+y—7=0。ClCl例2.,已知sinA=

3、—,cosB=—,求cosC213分析：由T*C=+B）/.cosC=-cos（A+B）=-[cosAcosB-sinA-sinB]因此,只要根据已知条件,求出cosA,sinB即可得cosC的值。但是由sinA求cosA时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。对角A进行分类。解：12135•••0＜辭冷＜〒且B为WC的-个内角MS®,且讪=1眉若A为锐角，由sin4=—,得A=30,此时cosA=22若A为钝角，由s讪冷，得"150。，此时5>180。这与三角形的内角和为180。相矛盾。可见150°•••cos

4、C=cos[龙一(A+B)]=-cos(A+B)=-[cosA•cosB-sinA-sinB]=-V35112213213例3.己知圆x2+y2=4,求经过点P(2,4),且与圆相切的直线方程。分析：容易想到设出直线的点斜式方程y-4=k(x-2)再利用直线与圆相切的充耍条件:“圆心到切线的距离等于圆的半径”，待定斜率k,从而得到所求直线方程，但要注意到：过点P的直线中，有斜率不存在的情形，这种情形的直线是否也满足题意呢？因此本题对过点P的直线分两种情形：(1)斜率存在时，…(2)斜率不存在…解(略)：所求直线方程为3x-4y+10=0或x

5、二2例4.解关于x的不等式：log“(l-丄)>1x分析：解对数不等式时，需要利用对数函数的单调性，把不等式转化为不含对数符号的不等式。而对数函数的单调性因底数a的取值不同而不同，故需对a进行分类讨论。解：若a>l,则原不等式等价于1一L>a^J—0

6、兀=1十丄11-a1时，原不等式的解集为；1当0VGV1时，原不等式的解集为匕1V兀v-a例5.解关于兀的不等式：ax2-(a+l)x+l<0分析：这是一个含参数a的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故

7、首先对二次项系数a分类：(1)aHO(2)a二0,对于(2),不等式易解；对于(1),又需再次分类：a>0或a<0,因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与丄谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。a故而解题时，需要作三级分类。解：(1)当a=0吋，原不等式化为一x+lv0/.x>1(2)当dHO时，原不等式化为a｛x-l)(x-—)<0a①若a<0,贝【J原不等式化为(x-l)(x-—)>0a•/—<0/.—<1・•・不等式解为x<—或r>1aaa②若a>0,则原不等

8、式化为(x-1)(%-—)<0a⑺当a>l时,-<1,不等式解为丄1,不等式解为11,当G=0时，解集为｛%!%>!｝；当0vavl时，解集为｛兀lvxv丄卜当Q=1时，解集为0；当a>1口寸,解集为］X—

9、型的不同，因此对^e(-oo,+oo)要进行分类：kg(-00,4),k=4,kw(4,8),k=8,/:g(8,+-),又注意到k-4=S-k>0与£-4工8—R伙—4>0U8