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《数学分析2014-2015 期中考试卷及答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、上海师范大学标准试卷2014~2015学年第一学期考试日期2014年11月19日（考试时间：120分钟）科目：数学分析I（期中卷）专业本、专科年级班姓名学号题号一二三四五六七总分得分我承诺，遵守《上海师范大学考场规则》，诚信考试。签名：________________得得分一.判断题(对的打√,错的打×,)1.(×)设为有理数，为无理数，则一定是无理数.2.(×)设数列满足：对任何自然数,有,且和都存在，则.3.(√)单调数列如果含有一个收敛的子列,则本身一定也收敛.4.(×)设是无穷小数列,是无穷大数列,则是无穷大数列.5.(×)任何数列都存在收敛的子列.6.
2、(×)设均为无界数列,则一定为无界数列.7.(√)设函数在某内有定义,且在点的左右极限都存在且相等,则在极限存在.8.(×)设,则.9.(√)如果对任何以为极限的递减数列,都有,则有.510.(×)若总可找到使得,则不存在.得得分二．叙述题（）1.叙述极限存在的柯西准则.答:设函数在内有定义.存在的充要条件是：,,(2分)使得对有.(2分)2.叙述集合上确界的分析定义.设是R中的一个数集，若数满足以下两条：（1） 对一切 有，即是数集S的上界；(2分)（2） 对任何存在使得（即是S的最小上界）(2分)则称数为数集的上确界.得得分三．计算题（本大题满分24
3、,每小题）1.求2.求解:解:===13.求4.解: 解：55.设,求数的值.解:6.求,使得.解:,（2分）．(2分)得得分四．用分析定义证明（本大题满分,每小题）1.证明：其中.证明:设,(2分)对,当时,.(3分)所以2.证明：证明：（2分）．故对，，当时，．（3分）3.证明：.证明:对,,当时,(2分),所以.(3分)5得得分五.证明题（本大题满分18,每小题）1.证明极限不存在.证明:对(2分),,设正数,令,(2分)则有,(2分)所以极限不存在.2.设求的上下确界,并用定义验证.解:.(2分)下面验证对有,对若.当时,根据实数的稠密性,存在有理数使得
4、.所以(2分)下面验证对有,对若.当时,根据实数的稠密性,存在有理数使得.所以(2分)3.设,，。判断数列的收敛性，若收敛,并求其极限.解:因为,(2分)(2分)所以数列是单调递减且有下界,则数列的收敛,(1分)设(舍去).所以数列收敛,.(1分)5得得分六.证明题（本大题满分10）用分析定义证明归结原则：设在上有定义，的充要条件是：对于任何含于且以为极限的数列，都有.证明：必要性 设，则对，存在正数，使得当时，．（2分）另一方面，设数列含于且，则对上述的，，当时有，从而，即．（3分）充分性 设对任何含于且以为极限的数列，都有.用反证法，若当时不以为极限，则，，
5、使得时．取，，，．．．，，．．．，则得到数列使得，而．（3分）数列且，但当时不趋于，与假设矛盾．所以必有．（2分）得得分七.证明题（本大题满分5）设，是一个正的常数。如果数列满足。用柯西收敛准则证明：存在。证明：，不妨设和．(3分)故取，当时有．由柯西收敛准则可知存在．（2分） 5
