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1、（十四）《数学分析Ⅱ》考试题一填空（共15分，每题5分）：1设1,0;2设；3设在1，0。二计算下列极限：（共20分，每题5分）1;解:由于又故2；解:由stolz定理,3；解:4。解:三计算导数（共15分，每题5分）：1解:2解:3设解:由Leibniz公式四（12分）设，满足：证明：收敛，并求解:（1）证明：易见，从而有：，故单调减少，且有下界。所以收敛。（2）求：设，由（1）知：。在两边同时取极限得解之得，即。五（10分）求椭圆处方程。解:在方程两边对求导数得：故从而，所以椭圆处方程为，即六（10分）
2、利用Cauchy收敛原理证明：单调有界数列必收敛。证明：设单调有界，不妨设单调增加。假定不收敛，则由Cauchy收敛原理，存在常数，于是令存在，再令存在，一般地令存在，这样得到的一个子列：满足：。从而有，，由此式递推可知：因而无界，与条件矛盾，故收敛。七（8分）设12证明：1.由条件知，，故：，，可见2.,故八（10分）设为实常数，证明：证明：令则故由Rolle中值定理，即故（十五）数学分析2考试题一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分）1、函数在[a,b]
3、上可积，那么（）A在[a,b]上有界B在[a,b]上连续C在[a,b]上单调D在[a,b]上只有一个间断点2、函数在[a,b]上连续，则在[a,b]上有（）ABCD3、在[a，+∞]上恒有，则（）A收敛也收敛B发散也发散C和同敛散D无法判断4、级数收敛是（）对p=1,2…，A充分条件B必要条件C充分必要条件D无关条件5、若级数收敛，则必有（）ABCD6、在[a，b]一致收敛，且an(x)可导（n=1,2…），那么（）Af（x）在[a，b]可导，且Bf（x）在[a，b]可导，但不一定等于C点点收敛，但不一定一
4、致收敛D不一定点点收敛7、下列命题正确的是（）A在[a，b]绝对收敛必一致收敛B在[a，b]一致收敛必绝对收敛C在[a，b]条件收敛必收敛D若，则在[a，b]必绝对收敛8、的收敛域为（）A(-1,1)B(-1,1]C[-1,1]D[-1,1）9、下列命题正确的是（）A重极限存在，累次极限也存在并相等B累次极限存在，重极限也存在但不一定相等C重极限不存在，累次极限也不存在D重极限存在，累次极限也可能不存在10、函数f(x,y)在（x0,,y0）可偏导，则（）Af(x,y)在（x0,,y0）可微Bf(x,y)在
5、（x0,,y0）连续Cf(x,y)在（x0,,y0）在任何方向的方向导数均存在D以上全不对二、计算题：（每小题6分，共30分）1、2、计算由曲线和围成的面积3、求极限3、已知，求4、计算的收敛半径和收敛域三、讨论判断题（每小题10分，共30分）1、讨论的敛散性1、判断的敛散性2、判断的一致收敛性四、证明题（每小题10分，共20分）1、设f(x)是以T为周期的函数，且在[0，T]上可积，证明2、设级数收敛，则当时，级数也收敛参考答案一、1、A2、B3、D4、A5、D6、D7、C8、A9、D10、D二、1、由于
6、在[0，1]可积，由定积分的定义知（2分）（4分）2、、两曲线的交点为（0，0），（1，1）（2分）所求的面积为：（4分）3、解：由于有界，（2分）=（3分）==2（1分）4、解：=（3分）=（3分）5、解：，r=2（3分）由于x=-2，x=2时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3分）三、1、解、因为被积函数可能在x=0和x=1处无界，所以将其分为=+（2分）考虑奇点x=0应要求p-1<1；奇点x=1应要求p+q<1；（4分）当时，由于，知2p+q-1>1时积分收敛（2分）所以反常积分满足p<2且2
7、(1-p)
