数学分析试题及答案.doc

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1、(二十一)数学分析期终考试题一叙述题:(每小题5分,共15分)1开集和闭集2函数项级数的逐项求导定理3Riemann可积的充分必要条件二计算题:(每小题7分,共35分)1、2、求绕x轴旋转而成的几何体的体积3、求幂级数的收敛半径和收敛域4、5、,l为从点P0(2,-1,2)到点(-1,1,2)的方向,求fl(P0)三讨论与验证题:(每小题10分,共30分)1、已知,验证函数的偏导数在原点不连续,但它在该点可微2、讨论级数的敛散性。3、讨论函数项级数的一致收敛性。四证明题:(每小题10分,共20分)1若收敛,且f(x)在[a,+∞)上一致连续函数,则有2设二元函数在开集内对于变量x是

2、连续的,对于变量y满足Lipschitz条件:其中为常数证明在D内连续。参考答案一、1、若集合S中的每个点都是它的内点,则称集合S为开集;若集合S中包含了它的所有的聚点,则称集合S为闭集。2设函数项级数满足(1)在[a,b]连续可导a)在[a,b]点态收敛于b)在[a,b]一致收敛于则=在[a,b]可导,且3、有界函数在[a,b]上可积的充分必要条件是,对于任意分法,当时Darboux大和与Darboux小和的极限相等二、1、令(2分)(5分)2、,(2分)所求的体积为:(5分)3、解:由于收敛半径为(4分),当时,,所以收敛域为(3分)4、(7分)5、解:设极坐标方程为(4分)(

3、3分)三、1、解、(4分)由于当趋于(0,0)无极限。所以不连续,同理可的也不连续,(2分)2、解:(5分)收敛,所以原级数收敛(5分)3、解:部分和(3分),取,时有,所以级数一致收敛(7分)四、证明题(每小题10分,共20分)1、证明:用反证法若结论不成立,则,使得,(3分)又因为在f(x)在[a,∞)上一致连续函数,,只要,有,(3分)于是,取上述使的点,不妨设,则对任意满足的,有取A和A‘分别等于和,则有,由Cauchy收敛定理,不收敛,矛盾(4分)2、证明:,由Lipschitz条件(1),(6分)又由二元函数在开集内对于变量x是连续的,(1)式的极限为0,在连续,因此在

4、D内连续(4分)(二十二)数学分析期末考试题一叙述题:(每小题5分,共15分)1Darboux和2无穷限反常积分的Cauchy收敛原理3Euclid空间二计算题:(每小题7分,共35分)1、2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积3、(n是非负整数)4、设具有二阶连续偏导数,求5、求的幂级数展开式三讨论与验证题:(每小题10分,共20分)1、讨论二元函数连续、偏可导、可微之间的关系。对肯定的结论任选一进行证明;对否定的结论,给出反例2、讨论级数的绝对和条件收敛性。四证明题:(每小题10分,共30分)1f(x)在[0,+∞)上连续且恒有f(x)>0,证明在[0,+∞)上单调增加2设正

5、项级数收敛,单调减少,证明3,证明:不存在参考答案一、1、有界函数定义在上,给一种分法,和记,则分别称为相应于分法的Darboux大和和Darboux小和。2、使得,成立3、向量空间上定义内积运算构成Euclid空间二、1、由于(7分)2、解:两曲线的交点为(2,2),(0,0),(2分)所求的面积为:(5分)2、解:=+=+(6分)(1分)4、:=(3分)(4分)5、解:由于余项,(3分)所以(4分)三、1、解、可微必可偏导和连续,证明可看课本133页(4分),可偏导不一定连续和可微例子可看课本135页(6分)2、解:当时,级数绝对收敛,(4分)当,由Dirichlet定理知级数

6、收敛,但,所以发散,即级数条件收敛(4分),当时,级数的一般项不趋于0,所以级数不收敛(2分)四、证明题(每小题10分,共30分)1证明:(8分)所以函数单调增加(2分)2证明:,有由此得,(4分)由级数收敛,故可取定使得,又,故使得时,有,(4分)于是当时,有,得证(2分)3、证明:,所以不存在(10分)(二十三)数学分析期末考试题一叙述题:(每小题5分,共15分)1微积分基本公式2无穷项反常积分3紧几合二计算题:(每小题7分,共35分)1、2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积3、求的收敛半径和收敛域4、设,求偏导数和全微分5、三讨论与验证题:(每小题10分,共30分)1讨论

7、的二重极限和二次极限2讨论的敛散性3、讨论函数项的一致收敛性。四证明题:(每小题10分,共20分)1设f(x)连续,证明2证明满足参考答案一、1、设在连续,是在上的一个原函数,则成立。2、设函数在有定义,且在任意有限区间上可积。若极限存在,则称反常积分收敛,否则称反常积分发散3、如果S的任意一个开覆盖中总存在一个有限子覆盖,,即存在中的有限个开集,满足,则称S为紧集二、1、=(7分)2、解:两曲线的交点为(-2,4),(1,1),(2分)所求的面积为:(5分)3:,收

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