数学分析试题及答案.pdf

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1、复旦大学2004～2005学年第二学期期末考试试卷课程名称：数学分析II课程代码：218.121.2.01开课院系：数学科学学院学生姓名：学号：专业：题目12345678总分得分填充题1．（每空格5分，共30分）2x（1）f(x)=∫sintdt，则当x→+0时，f(x)是关于x的阶0无穷小量。2+∞⎛⎞lnx（2）∫1⎜⎟dx=。⎝⎠x∞n(2)−n（3）幂级数∑(1x−)的和函数与收敛范围为n=1n。（4）2的幂级数展开中n的系数为ln(1+x−2x)x。+∞ln(1+x)⋅sinx（5）反常积分∫dx收敛，则α的取值范围为0αx。（

2、6）函数项序列2α−nxSxnxe()=在区间[1,0]上一致收敛，则α的取n值范围为。1解答题（每题10分）n+∞x2．计算积分dx∫01+xn+2。∞3.xn>0，∑xn收敛，问是否有limnxn=0？是的话证明之，不一定的n→∞n=1话举出反例。2−x4．求曲线yx=e(0x≥)绕x轴旋转所得旋转体的体积。2∞n1−2x(−)15.求f(x)=arctan在x=0的幂级数展开，并求∑n的值。1+2xn=02(n+4)16．设底面直径为2米，高为5米的圆柱体形状的浮桶横躺在100米深的海底，打捞作业时需要将桶内的水“抽”到海面上，问将

3、桶内的水全部抽干要做多少功？（答案可保留水的比重ρ与重力加速度g）。3∞∞7．判断2n2n∑x1(−x)与∑nx1(−x)在[1,0]上的一致收敛性，并证明你n=1n=1的断言。+∞8．设函数f(x)在[,a+∞)上一致连续，∫f()xdx收敛，证明limfx()=0。ax→+∞4复旦大学2005～2006学年第一学期期末考试试卷课程名称：数学分析III课程代码：318.157.3.01开课院系：数学科学学院学生姓名：学号：专业：题目12345678总分得分填充题1．（每空格6分，共30分）333（1）x++=yzx3yz，则dz=。⎧x

4、yz++=0（2）曲线⎨2222在(,,2)aa−a处的切线方程为⎩x++=yza6。222，则（3）rxyz=++divgradr=。2xsinxtdI（4）Ix()=∫dt，则=。xtdx+∞4+∞4（5）42−−xx∫∫xedx⋅xedx=。00解答题（每题10分，共70分）2x∂z∂z22．通过变量代换u=,v=x,w=xz−y，变换方程y+2=。2y∂y∂yx13．设四边形的边长分别为a,b,c,d，利用Lagrange乘数法求出当四边形面积最大时四边形的顶角所满足的条件（不必求出最大面积）。522222224．计算闭曲面()x

5、++=−−yzzxy所围体积。2uuuruuur5．在平面上单位质点P受力F作用，力F的方向与OP垂直（OP逆时uuur针转90度为F的方向），大小与OP成反比，比例系数为k，求质点P从点A(0,1)沿位于第一象限的曲线移动到点B(1,0)，力F所作的功。333226．计算积分∫∫xdydz+ydzdx+zdxdy，其中S是曲面z=x+y介于S0≤z≤1的部分，积分沿曲面下侧。3+∞αdx7．积分∫关于α在下述范围是否一致收敛?证明你的断言。0x2+α2（1）0<α≤α≤A<+∞;（2）0<α<+∞。028．将周期为2π的函数f(x)=x

6、，x∈[−π,π]展开成Fourier级数，并∞n+1(−)1计算∑的值。2n=1n4复旦大学2005～2006学年第一学期期末考试试卷答案1．（本题满分40分，每小题8分）（1）22x+y−2=0。1（2）。21（3）y=ee为极大值。x=e（4）曲线在]1,0(上为上凸，在,1[+∞)上为下凸，,1(−)7为拐点。11−x（5）−−ln+C。xx2．（本题满分15分）f在x=0点连续且可微，f)0(=0，f′)0(=1。在其它点不连续，因此也不可微。3．（本题满分10分）不一致连续。24．（本题满分10分）e。−xx5．（本题满分15

7、分）x−1(+e)ln(1+e)+C。116．（本题满分10分）证明：要证的不等式+<1（x<0）等价于xln(1−x)ln(1−x)−ln(1−x)+1<0（x<0）。xln(1−x)设f(x)=−ln(1−x)+1，则xx+ln(1−x)f′(x)=−（x<0）。2x1考虑g(x)=x+ln(1−x)，则g′(x)=1−>0（x<0），且g)0(=0，所以1−xg(x)=x+ln(1−x)<0（x<0）。因此x+ln(1−x)f′(x)=−>0（x<0）。2x因为limf(x)=0，因此当x<0时成立x→0−ln(1−x)f(x)=−

8、ln(1−x)+1