平面向量数量积及运算率

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1、空间向量及其运算空间向量及其加减与数乘运算1、向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。表示方法：用有向线段表示。规定：同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。aboABBOA注意：空间任意两个向量一定是共面向量或共线向量2、加法、减法与数乘运算:OB=OA+AB=a+bBA=OA–OB=a+bOP=a(R)4、平行六面体：平行四边形ABCD平移向量a到A'B'C'D'的轨迹所形成的几何体,叫做平行六面体。ABC'CDA'B'D'a3、运算律：加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)

2、+c=a+(b+c)数乘分配律：（a+b）=a+bAD'A'DCB'BC'MG例1已知平行六面体ABCD—A'B'C'D'，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：（1）AB+BC（2）AB+AD+AA'（3）(AB+AD+AA')（4）AB+AD+CC'2、共线向量和共面向量注意：1、a//b时，a，b所在直线既可能是平行直线也可能是同一条直线。2、a与b共线时，a，b所在直线既可能是平行直线也可能是同一条ab1、共线向量或平行向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线

3、向量或平行向量。a平行于b记作a//bab共线向量与共面向量2、共线向量定理：对空间任意两个向量a、b（b0），a//b的充要条件是存在实数使a=baAOBPl3.如果L为经过已知点A且平行与已知向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线L上充要条件是存在实数t，满足等式OP=OA+ta（1）其中a叫做直线L的方向向量。OP=（1–t）OA+tOB（2）当t=时，点P是线段AB的中点，则OP=（OA+OB）-------线段AB的中点公式（1）和（2）叫做空间直线的向量参数方程作用：解决三点共线问题121

4、24.向量与平面平行：已知平面内的向量a，作OA=a，如果直线OA平行于平面或在内，那么我们就说向量a平行于平面。记作a//5.共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。aaOA6.共面向量定理;如果两个向量a,b不共线，则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在实数对x,y，使p=xa+yb.共面向量定理的推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，使MP=xMA+yMB,或对空间任一定点O，有OP=OM+xMA+yMB.作用：解决四点共面问题例题：对空间任

5、一点O和不共线的三点A、B、C，问满足向量式OP=xOA+yOB+ZOC（其中x+y+z=1)的四个点P、A、B、C是否共面？2.已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量OE=kOA，OF=kOB，OG=kOC，OH=KOD求证（1）四点E，F，G，H共面（2）平面AC//平面EGHGFEDCBAO