第5章+随机型时间序列预测方法

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1、第5章随机型时间序列预测方法5.1随机型时间序列模型5.2ARMA模型的相关分析5.3模型的识别5.4ARMA序列的参数估计5.5模型的检验与预报思考与练习5.1随机型时间序列模型5.1.1时间序列所谓随机时间序列,是指{Xn

2、n=0,±1,±2,…,±N,…},这里对每个n,Xn都是一个随机变量。以下我们简称为时间序列。建模流程图如图5.1所示。图5.1随机型时间序列预测方法建模流程定义5.1时间序列{Xn

3、n=0,±1,±2,…}称为平稳的,如果它满足：(1)对任一n,E(Xn)=C,C是与n无关的常数；(2)对任意的n和k,E［(Xn+k-C)(Xn-C)

4、］=γk其中γk与n无关。γk称为时间序列{Xn}的自协方差函数,ρk=γk/γ0称为自相关函数。平稳性定义中的两条也就是说时间序列的均值和自协方差函数不随时间的变化而变化。显然,γ-k=γk,ρ-k=ρk,k≥0。不失一般性,对一个平稳时间序列{Xn,n=0,1,…},可以假设它的均值为0。若不然,运用零均值化方法对序列进行一次平移变换,亦即令是一个零均值的平稳序列。这样做,便于下面进行统一讨论。我们可把所要研究的对象,比如某商品的月销售量,看作为一个随机时间序列{Xn}。将手中所有的观察值{x1,x2,…,xN},如为最近5年这种商品的月销售量统计数据,看作为这个随机

5、时间序列的一个样本。若要想预测未来某一时期这种商品的月销售量,关键的问题是要掌握随机序列{Xn}的统计特性。但是,我们并不了解{Xn}的统计特性,而手中只有{Xn}的一个样本。所以,需要我们做的工作就是根据手中的样本去估计{Xn}的概率特性,也就是建立时间序列{Xn}的统计模型,用它来近似实际时间序列,从而做出对未来的预测。5.1.2自回归(AR)模型自回归模型(AutoregressiveModel)的形式为Xn=φ1Xn-1+φ2Xn-2+…+φpXn-p+εn(5.1)式中,φ1,…,φp为模型参数；Xn为因变量;Xn-1,Xn-2,…,Xn-p为“自”变量。这

6、里“自”变量是同一(因此称为“自”)变量,但属于以前各个时期的数值,所谓自回归即是此含义。{εn,n=0,±1,…}是白噪声序列,即E(εn)=0,E(εnεn+k)=σ2εδk0这里也就是说,随机序列{εn}的均值为0,方差为σ2ε,且互不相关,它代表不能用模型说明的随机因素。假定E(Xtεn)=0,t

7、称多项式方程Φp(λ)=0为AR(p)模型的特征方程,它的p个根λ1,λ2,,λp称为模型的特征根。特征根可能是实数,也可能是复数。如果这p个特征根都在单位圆外,即

8、λi

9、>1i=1,2,…,p则称AR(p)模型是稳定的或平稳的。称上式为平稳性条件。这里应引起读者注意的是,平稳时间序列{Xn}是指Xn的均值为常数(我们设其为0)且自相关函数为齐次的随机时间序列,而平稳的AR(p)则指它满足平稳性条件：Φp(λ)=0的根均在单位圆外。这两种“平稳”是两个不同的概念。如,对于AR(1)模型,其特征方程为1-φ1λ=0特征根λ1=φ-11,从而AR(1)的平稳性条件是

10、φ1

11、

12、<1。在条件

13、φ1

14、<1的情况下,有(5.3)由于εk表示第k期的预测误差,因此上式表示对平稳的AR(1)模型,Xn可由过去各期的误差线性表示。其实可以证明,对任意的平稳AR(p)模型,Xn都可由过去各期的误差来线性表示。平稳性保证Φp(B)的逆算子存在,但一般为无穷阶的,即，从而。这里只讨论平稳的AR(p)模型。注：式(5.3)中假定了序列Xn是负向无穷的。由式(5.1)知,如果：(1)能够证明式(5.1)的确是恰当的方程；(2)能够确定p的数值；(3)能够确定模型参数φ1,…,φp,那么,式(5.1)去掉εn项后就得到预测公式φ1Xn+φ2Xn-1+…+φpXn

15、-p+1,由此进行预测就很容易了。可惜的是,并非所有时间序列都能用式(5.1)的AR(p)模型来表示。因此，我们还要考虑其它模型。5.1.3移动平均（MA）模型式(5.3)说明在平稳的AR(p)模型中,Xn可由过去各期误差的线性组合表示,而当AR(p)模型非平稳时,线性表示就难以成立了。移动平均模型就是当Xn可由过去有限期的误差线性表示的情形。其公式为Xn=εn-θ1εn-1-θ2εn-2-…-θqεn-q(5.4)其中{εn}是白噪声序列。称满足上式的