时间序列分析方法第4章预测

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1、第四章预测在本章当小我们讨论预测的一般概念和方法，然后分析利用ARMA(p,q)模型进行预测的问题。§4.1预期原理利用各种条件对于某个变最下一个时点或者时间阶段内取值的判断，是预测的重要情形。为此，需要了解如何确定预测值和度最预测的精度。4.1.1基于条件预期的预测假设我们可以观察到一•组随机变量乙的样本值，然后利用这些数据预测随机变量乙°的值。特别地，一个最为简单的情形就是利用匕的前加个样木值预测匕+】，此时/可以描述为：X严{厶⑺，…必*}假设匕:山表示根据对于匕+1作出的预测。预测效果如何？我们需要利用损失函数度量预测效果的好坏。假设预测与真实值Z间的偏离作为损失

2、，则简单的二次损失函数可以表示为(该度量也称为预测的均方误差)：MSE(Yt^t)=E(Yt+l-Yt^t)2定理4.1使得预测均方误差达到最小的预测是给定/时，对却的条件数学期望，即：Y^t=E(Yt+lXt)证明：假设基于对乙°的任意预测值为：Y^t=g(Xt)则此预测的均方误差为：MSE(Y^t)=E[Yt+l-g(Xt)]2对上式均方误差进行分解，可以得到：MSE(Y^t)=E{[y/+1-£(y/+1IXr)]+[E(E+JX,)—g(X,)]}2=E[Yt+l-E(Yt+]Xt)y+[E(Yt+lXt)-g{Xt)]2+2E{[rf+1-E(Yt+iX

3、f)][E(Yt+iXl)-g(Xt)]}其屮交叉项的数学期望为(利用数学期望的叠代法则)：E{[匕+1-E(r/+1I)][%IXJ-g(XJ}=0因此均方误差为：MSE(Z：m)=E[Yt+i-E(Yt+iIX()]2+[E(Z+】IXJ—g(X,)]2为了使得均方误差达到最小，则有：g(Xt)=E(Yt+lXt)此时最优预测的均方误差为：MSE(Y^t)=E[Yt+[-E(Yt+}X{)y4.1.2基于线性投影的预测由于上述条件数学期望比较难以确定，因此将预测函数的范围限制在线性函数当中，我们考虑下述线性预测：%“X定义：如果我们可以求出一个系数向量值a,使得

4、预测误差(yf+I-aXf)与x(不相关:E[(Yf+l-a/Xf)Xl-l=O则称预测"X,为却基于X’的线性投影。定理：在所有线性预测当中，线性投影预测具有最小的均方误差。证明：假设是任意一个线性预测，则对应的均方误差可以分解为：MSE=E［Yt+l-S,Xty=EYt^-a，Xt+临-阿卩=E（Y^-aXf尸+E©X-gX尸+2E［（X/+1-临）（临-gX）］由于"X,是线性投影，则有：E［（岭+1矢"（a%,_g'X「）］=E［（Z+

5、_aY,）X；］（a_g）=O因此均方误差为：MSE=E（Yt+}-at）2+E（aXt-^XtY为了使得均方课差达到最小，

6、线性预测满足：这是一个线性投彩。我们将线性投影预测表示为：P（Yt+］Xt）=aX{或者简化为：显然线性投影的预测误差仍然不小于条件期望预测，因此冇：7MSE［P（Yt+iXt）］＞MSE［E（Yf+iX{）］当条件当中包含常数的时候，此时线性投影当中就含冇常数，为此使用/表示含有常数项的线性投影预测，即：AAE（Xt+［Xf）=P（Yl+［l,Xl）4.1.3线性投影的性质根据线性投影的定义，我们可以求出投影的系数向量：E（Yl+iX；）=afE（XlX；）如果E（XtX；）是可逆的，贝怡：af=E（Y^X；）［E（XtX；）］^命题：（1）最优线性预测的均

7、方误差为：MSE=E&+J2—E（%X；）［E（X/X；）「E（X必J（2）线性投影满足线性平移性质：P（aYt+l+bXt）=aP（Yt+lXt）+b证明：（1）根据投影向量的表达式，可以得到：MSE=E（Yt+l-aXt）2=E（却尸-2E（Yt+［X；）［E（XtX；）rE（X必+】）+E（E+］X；）［E（X『X；）］T［E（X/X；）］E（X必+J化简就可以得到命题表达式。（2）需要证明aP（Yt+{Xt）+b是叱+］+〃的线性投影。显然，它是线性函数,其次,可以证明满足正交性质。4.1.4线性投影和普通最小二乘回归线性投影与最小二乘估计紧密相关，这两种概

8、念之间存在联系。例如，将儿+1基于"建立线性回归方程，得到：儿+严0玄+儿对于给定兀+1和旺的T个样本，样本残差平方和定义为：工（儿+1一0'耳）2/=1使得残差平方和达到最小的系数最小二乘估计为：b=［工旺兀；）「［工呂儿+】）］f=l/=1如果过程是协方差平稳过程且关于二阶矩是遍历的，则有：1TnIr=l1TJ/=1因此上述OLS估计按概率收敛到线性投影系数：b—a4」.5向量预测上述结果可以推广到利用加x1维向量X/预测mx1维向量乙+】，记为:=q匕三£出其中"为投影系数的一个/7Xm阶矩阵，满足正交条件：E［（Yt+