第10章+能量法

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1、第十章能量法第一节概述第二节弹性应变能的计算第三节互等定理第四节卡氏第二定理第五节虚功原理*第六节单位载荷法第七节图乘法（维利沙金法）第十章能量法第八节瑞利—李兹法*第九节超静定结构的基本解法第十节力法正则方程*第一节概述——固体力学中利用功与能之间的关系所建立的一些定理——利用能量原理求解可变形固体的位移、变形、内力或外力的计算方法能量原理(功能原理)能量法第十章能量法特点：1．解题简单、适用性广2．不受材料和形状限制，适用于线弹性、非线性和塑性问题3．可求解静定与非静定问题4．学习后续课程的基础§10.1概述AB外力作功弹性体内储存了应变能静载作用下：动能和其他能

2、量均可不计FD弹性范围内，弹性体的变形是可逆的超出弹性范围后，塑性变形将消耗一部分能量本章讨论弹性问题§10.1概述第二节弹性应变能的计算第十章能量法一、杆件基本变形的应变能二、克拉贝依隆原理三、杆件组合变形下的应变能(一)轴向拉伸(压缩)FlFF1、杆的应变能轴力沿轴线不变的情况:弹性范围内应变能一、杆件基本变形的应变能dFF§10.2弹性应变能的计算(一)轴向拉伸(压缩)lF1、杆的应变能轴力沿轴线不变的情况：应变能l轴力沿轴线变化的情况:应变能轴力和面积沿轴线变化的情况？§10.2弹性应变能的计算(二)扭转1、应变能扭矩沿轴线不变的情况弹性范围内应变能§10.2

3、弹性应变能的计算（二）扭转1、应变能扭矩沿轴线不变的情况应变能扭矩沿轴线变化的情况应变能§10.2弹性应变能的计算(三)弯曲1.纯弯曲lmmq弹性范围内应变能qqOm§10.2弹性应变能的计算(三)弯曲1.纯弯曲应变能2.横力弯曲中的弯曲应变能剪力弯矩剪切应变能弯曲应变能l微段§10.2弹性应变能的计算dxAgdxtg1)dx段应变能：2)l段应变能：FQ—横截面剪力，A—横截面面积a—截面系数矩形：a=6/5；实心圆：a=10/9；薄圆环：a=23)注意：在一般细长梁中，远小于弯矩应变能的剪力应变能，通常忽略不计3.剪切应变能(三)弯曲§10.2弹性应变能的计算总结

4、：拉伸(压缩)变形应变能：扭转变形应变能：弯曲变形应变能：§10.2弹性应变能的计算二、克拉贝依隆原理变形能只决定于外力和位移的最终值，与加载次序无关dibdiOFibFi§10.2弹性应变能的计算二、克拉贝依隆原理线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的总和——广义力——广义力的作用点沿广义力方向的广义位移由于位移、、、…与外力、、、…成线性关系，所以，变形能是外力或位移的二次函数如：拉伸时为线位移，扭转或弯曲时为角位移如：拉伸时为拉力，扭转或弯曲时为力偶矩§10.2弹性应变能的计算三、杆件组合变形下的应变能微段的应变能整个杆件的变形能M(x)M(x

5、)dxFN(x)FN(x)T(x)T(x)§10.2弹性应变能的计算xFl/2l/2hbC解：弯距方程例10-1图示矩形梁，并求中点C的挠度。§10.2弹性应变能的计算第三节互等定理二、位移互等定理一、功的互等定理第十章能量法一、功的互等定理12ABAB12第一角标表示产生位移点位置，第二角标为产生该位移的力，如dij表示j力在i位置产生位移§10.3互等定理一、功的互等定理12AB结构的应变能1.先在1点作用再在2点作用外力所作的功为外力所作的功为§10.3互等定理一、功的互等定理结构的应变能再在1点作用2.先在2点作用外力所作的功为外力所作的功为§10.3互等定理

6、12AB一、功的互等定理功的互等定理：F1(或第一组力)在F2(或第二组力)引起的位移d12上所作的功等于F2在F1引起的位移d21上所作的功§10.3互等定理12AB二、位移互等定理令：则：由力F作用在2点所引起的1点的位移等于该力作用在1点所引起的2点的位移位移互等定理：§10.3互等定理12ABAB12AB12需要指出的是，上述互等定理对于所有的力与位移成线性关系的结构(线性结构)都适用，此外，力和位移应理解为广义力和广义位移二、位移互等定理§10.3互等定理12345Fd51d15=d51Fd52d25=d52Fd35=d53d53Fd45=d54d54解：1

7、)挠度器应安装在梁端5点处；2)将F依次作用于1、2、3、4点，测出梁端5点挠度即为F作用于梁端时1、2、3、4各点的挠度。F挠度记例10-4图示悬臂梁，欲用一个固定位置的挠度计，测量1、2、3、4各点的挠度，挠度计应安装在何处？如何测量？§10.3互等定理第四节卡氏第二定理一、定理推导二、杆件计算中的应用第十章能量法一、定理推导F1F3F2Fi1)问题：求Fi作用力方向的位移diDFidid2d1d3a)加DFi后应变能的增量：b)将F1、F2…Fi…看作第一组力，DFi看作第二组力，由功能互等定理有：DdiDd2Dd3Dd1§10.4卡氏第二定理