第32讲 能量法(Ⅰ)

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1、材料力学教案第32讲教学方案——能量法（Ⅰ）基本内容1.变形能的普遍表达式。2.莫尔积分。教学目的1.掌握外力功、变形能的计算方法。2.了解应变余功，应变余能的基本概念。3.掌握由能量原理导出的能量法、莫尔积分公式的导出。4.会计算五种基本变形状态下的变形能的计算。5．了解非线性弹性材料构件的变形功、变形能的计算，广义力、广义位移、克拉贝依隆原理的概念。重点、难点1.重点掌握外力功、变形能的计算方法。2.重点掌握能量法的基本原理。3.要求熟练掌握五种基本变形状态下的变形能的计算。4.难点之一是莫尔积分公式的正确应用。5．难点之

2、二是莫尔积分公式应用的推广。教学安排本次教学计划学时：2学时。课堂讨论：1.外力功与变形能之间的关系。2.小变形条件制约了什么？3.引出单位载荷法与莫尔积分的关系。材料力学教案第十三章能量原理及其应用§13-1外力功变形能1．变形功与变形能弹性杆受拉力P作用（图11-1），当P从零开始到终值缓慢加载时，力P在其作用方向上的相应位移也由零增至而做功，称为变形功。（13-1）与此同时弹性杆被拉长而具有做功的能力，表明杆件内储存了变形能。单位体积储存的应变能称为应变比能（13-2）整个杆件的变形能为（13-3）如果略去拉伸过程中的动

3、能及其它能量的变化与损失，由能量守恒原理，杆件的变形能U在数值上应等于外力做的功W，即有U=W（13-4）这是一个对变形体都适用的普遍原理称为功能原理，弹性固体变形是可逆的，即当外力解除后，弹性体将恢复其原来形状，释放出变形能而做功。但当超出了弹性范围，具有塑性变形的固体，变形能不能全部转变为功，因为变形体产生塑性变形时要消耗一部分能量，留下残余变形。材料力学教案2．应变余功与余能变形体受外力作用时的余功定义为其中P1是外力从零增加到的终值，仿照功与变形能相等的关系，将余功相应的能称为余能，用Uc表示。余功与余能相等，即可仿照

4、前面，定义单位体积余应变能（或应变余能），称为余应变比能由此整个结构余应变能可写成应指出：余功、余应变能、余应变比能具有功的量纲，是变形体的另一能量参数，但都没有具体的物理概念，只是常力所做的功减去变力所做功余下的那部分功。3．能量原理固体力学中运用功与能有关的基本原理统称为能量原理，由此发展出来的方法称为能量法。能量原理是在总体上从功与能的角度考察变形体系统的受力、应力与变形的原理与方法，是进一步学习固体力学的基础，也是当今应用甚广的有限元法求解力学问题的重要基础。4．本章内容本章只涉及能量原理在材料力学中常用的部分内容，如

5、：变形能、互等定理、卡氏定理、虚功原理、单位载荷法及图乘法，更为深入的，如最小势能原理，最小余能原理等变分原理，可参考其它专著。材料力学教案§13-2外力功和变形能计算杆件不同受力情况下的变形能。1．轴向拉伸或压缩线弹性杆件（图11-3）拉、压杆应变比能或（13-5）材料力学教案则整个杆的变形能（13-6）其中，N是内力（轴力），A是截面面积，l是杆长。对于等截面杆，内力N=P=常数，用（13-1），线弹性范围内拉压杆的变形能而杆的伸长（或缩短），上式可改写成（13-7）2．纯剪，扭转线弹性杆件（图11-4）线弹性材料纯剪应力

6、状态杆件的应变比能为或（13-8）扭转杆的变形能（13-9）其中，T（x）是截面上的扭矩（内力）。对于受扭转力偶矩m作用的等截面圆杆，如果杆件材料是线弹性的，则其扭转角为材料力学教案扭转力偶矩m所作的功为则由（13-1），扭转变形能为（13-10）3．线弹性梁弯曲弹性弯曲杆的应变比能（13-11）整个杆的变形能=（13-12）其中，M（x）是梁截面的弯矩（内力矩）。对于弹性纯弯曲梁，其两端受弯曲力偶矩m作用，m由零开始逐渐增加到最终值，则两端截面的相对转角为θ，则弯曲力偶矩所做的功为（图11-5），则由（13-1）得杆的应变能

7、（13-13）对于纯弯曲梁常数，上式亦可由（13-8）得到。4．广义力与广义位移对于拉压杆、扭转杆、弯曲杆的变形能可统一写成材料力学教案（13-14）式中P在拉伸时代表拉力，扭转时代表扭转力偶矩，弯曲时代表弯曲力偶矩，P称为广义力，而与之相应的位移δ，称为广义位移，如拉伸时它是与P相应的线位移；扭转时，它是与扭转力偶矩相应的角位移；弯曲时，它是与弯曲力偶矩相应的截面角位移θ。更一般地说，广义力矢量与相应广义位移矢量的点积等于功。5．非线性弹性材料的构件的变形功、变形能对于非线性弹性材料的构件（图11-1），（13-4）式仍成立

8、，但力与位移关系，应力与应变关系应为由试验确定的曲线（图11-1），变形能与应变比能为，（13-15）例题13-1轴线为半圆形平面曲杆如图11-6，作用于A点的集中力P垂直于轴线所在平面，求P力作用点的垂直位移。解：杆的任一截面mn位置可用圆心角φ来表示，曲杆在P力作用下，m