第11章能量法

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1、第11章能量法能量法基于这样一个概念，即在弹性范围内，弹性体因外力作用而变形，从而引起外力作用点沿力作用方向的位移，因此在变形的过程中，外力作了功，若不考虑加载和变形过程屮的能量损耗，则根据功能原理，外力功全部转变为弹性应变能储存于弹性体内，即w=u利用与应变能概念相关的一些定理和原理，可以解决结构的位移计算或与结构变形有关的问题。这种解决问题的方法称为能量法(energymethod)o本章将介绍能量法计算结构位移的一般原理和方法。11.1杆件的应变能计算一、杆件在基本变形时的应变能前述章节已分别导出

2、杆件在轴向拉伸(压缩)、扭转和弯曲时的应变能计算公式，公式汇集如下1.杆件在轴向拉伸(压缩)时的应变能为2EA反度为ck(11-2)(H-3)(11-4)若轴力沿杆轴线有变化，设x是和杆轴线重合的坐标，轴力表示为Fn(x)o在坐标为兀，的微段内，应变能为2EA沿杆长/积分，即可得整个杆内的应变能为u=~2EA若结构是由和根直杆组成的桁架，则整个结构内的应变能为各杆内的应变能之和，即TJ二十22&4T2/2.圆轴扭转吋的应变能U=2GIp与轴向拉仲相似，当圆轴横截面上的扭矩沿轴线为变量7兀)时，轴的应变

3、能可表达为(H-5)(H-6)3.梁弯曲吋的应变能梁纯弯曲时的应变能为2EI横力弯曲时，梁的应变能应包含弯曲应变能和剪切应变能两部分，对一般细长的梁，剪切应变能比弯曲应变能小得多，可以略去不计。则弯曲应变能为(H-7)cr_eM2(X)dx一丄2EI二、杆件在组合变形时的应变能在组合变形的一般情况下，杆件横截面上可能同时有轴力Fn(x)、扭矩7(x)和弯矩M(x)作用，此时这三种内力分暈引起的变形是互相独立的，因而总应变能等于三者单独作用时的应变能Z和。所以组合变形吋整个杆件的总应变能可表达为口_『尺(

4、x)ck+『T2(x)dx+fM2(x)dr_2EA*12G/p*2EI(11-8)上式适用于圆截面情况，若为非圆截面杆，则式屮的儿例11・1求图11-1所示简支梁的应变能。解：设M和F同时由零按比例增加至终值，此时梁的弯矩方程为(以端点A为坐标原点)1Y/=(0

5、EI积分后可得梁内应变能为“1FimfFm2lu=——(++——)El96166为了进一步分析问题，将(a)式改写为下列等价形式：U=—F+M・+M248£716EI23EI1FPMl21MlU=_F+F+_M248E/6El23E1(a)(b)(c)在(b)和(c)式中，右端第一和第三项可以写成:丄他和-mob,其中22fF_48E；它们分別为F和M单独作用时，力的作用点C和B的挠度和转角，因此-Fwc^-M0h即为这二种载荷单独作用时，载荷所作的功，它们分别等于载荷单独作用时梁内的应变能。由式(b

6、)或(c)可见，二种载荷同时作用时，梁内的应变能并不等于二种载荷分别单独作用时的应变能之和，也就是多个载荷作用时，杆件内的应变能不能由各个载荷单独作用时的应变能简单叠加得到。由上二式可见，其差别在于右端第二项，该项可以改写成：M&BF或FWcm其中：%F=-^—表示F作用下的B端转角；vvCA/=—表示M作用下的C点挠度。BF16EICM16£/因此(b)式可以理解为当梁上首先作用力偶M,梁内产生应变能寸他,即(b)式第三项，然后保持M不变，再逐渐加上F力，此时笫一项即为F力在其作用点的位移上所作的功，

7、而笫二项则表示保持不变的力偶M,在由F力产生的B端转角&貯上所作的功M0BFvo所以(b)式就表示了先加力偶然后保持不变，再加上力F的情况。与此类似，(c)式则表示在梁上先加力F,并保持F不变，再加上力偶M的情况。其中第二项即为不变力F,在由M所引起的力F作用点的位移叱加上所作的功FWgw。以上三个应变能表达式(“)、(b)和(c)具有完全相同的数值，但是它们的物理含意不同，分别反映了不同的加载过程。这就表明杆件的应变能只和最终的载荷状态有关，而与加载次序无关。例11・2试计算图11・2所示外伸梁的应变

8、能，并求C点的垂直位移Ac。解：(1)计算梁的应变能収坐标系如图11・2所示，在梁AC和AB段内的弯矩八方程分别为；，(。_笃)HeF3I3=-—(-/-%)(-