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1、材料力学第11章能量法第11章能量法§11.1杆件的变形能掌握§11.2互等定理理解§11.3卡氏定理掌握§11.4虚功原理理解§11.5莫尔定理掌握本章重点（1）卡氏定理（2）虚功原理（3）莫尔定理变形能、卡氏定理、莫尔定理、单位力、虚位移、虚力,实功，虚功,虚功原理本章难点（1）虚功原理关键术语§11.1杆件的应变能一、功能原理1、外力功2、应变能(变形能）在弹性范围内,弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量,称为弹性应变能(变形能),简称为应变能(变形能).固体在外力作用下产生变形,使力作用点沿力作用方向发生位移,外力因此而做功,这种功称为外力功.12F1F2变
2、形固体在受外力作用而变形时,外力和内力均将作功.对于弹性体,不考虑其他能量的损失,外力在相应位移上作的功W,在数值上就等于积蓄在物体内的应变能Vε.W=Vε3、功能原理物理意义：弹性体在变形的过程中，外力所做的功全部转化为储存于弹性体内部的变形能。外力功应变能4、能量方法利用功能原理W=Vε来求解变形固体的位移、变形和内力等的方法.二、各种基本变形形式下的应变能的计算1、轴向拉压外力功：应变能Vε：根据功能原理：Vε=WFlOFll当轴力或截面发生变化时:当轴力或截面连续变化时：应变能密度单位:J/m3应变能密度:单位体积的应变能称为应变能密度（比能），记作vε。2、纯剪切
3、假设单元体左侧固定,因此变形后右侧将向下移动dx.dxdydzxyzabddx当材料在线弹性范围内工作时,上述力与位移成正比,因此,单元体上外力所作的功为应变能密度为将=G代如上式得3、扭转或扭转变形能Vε：外力偶矩Me做功：扭矩T沿轴线变化时：纯弯曲横力弯曲4、弯曲MeMe横力弯曲时细长梁的剪切应变能与弯曲应变能相比很小，可以不计。θMeMeρl可以把应变能统一写成：式中:F——广义力，可以代表一个力，一个力偶，一对力或一对力偶等。δ——与F对应的位移，称为广义位移，可以代表一个线位移，一个角位移，一对线位移或一对角位移等。在线弹性情况下，F与δ是线性关系。拉压
4、：F——△L扭转：T——φ弯曲：M——θ三、应变能的一般表达式四、杆件组合变形时的应变能杆件产生组合变形时，截面上存在几种内力。取dx微段，其两端的内力如图所示。M(x)—只产生弯曲转角dqFN(x)—只产生轴向线位移d△lT(x)—只产生扭转角dj对于dx微段，FN(x),T(x),M(x)均为外力。各个内力只对其相应的位移做功。小变形时不计剪力FS产生的应变能略去高阶微量后，dx段的应变能为：杆件的应变能为(1)由于应变能是外力（内力）或位移的二次齐次式，所以产生同一种基本变形形式的一组外力在杆内产生的应变能，不等于各力单独作用时产生的应变能之和。（2）小变形时，产生不同变
5、形形式的一组外力在杆内产生的应变能等于各力单独作用时产生的应变能之和。五、应变能的特点EAF1F2ab例F1F2Me即：(3)应变能的大小与加载顺序无关（能量守恒）F和Me同时作用在梁上，并按同一比例由零逐渐增加到最终值——简单加载。在线性弹性范围时，力和位移成正比，位移将按和力相同的比例，由零逐渐增加到最终值。上图中CwCFEIABMel/2l/2qA,(a)先加F,再加Me式中，F·wC,Me为力F在由Me产生的C点处的挠度上作功，是恒力功，所以无1/2系数。cFEIABMel/2l/2wC,F,先加FCwC,FFEIABl/2l/2qA,F,再加Me可见：应变能的大小与加
6、载顺序无关先加MeCABl/2l/2,Mel/2l/2cEIABMewC,Me,Me先加,再加FEIFlFA162,=qF再加F六、应变能的应用利用功能原理计算杆件的变形例题11.1试求图示悬臂梁的应变能,并利用功能原理求自由端B的挠度.ABFlx解：由Vε=W得wB应变能：弯矩方程：外力功：例题11.2试求图示梁的应变能,并利用功能原理求C截面的挠度.ABCFx1x2abl解：由Vε=W得(1)求支反力：(2)分段写出弯矩方程：FAFB(3)计算应变能：(4)利用功能原理求挠度§11.2互等定理两力作用点沿力作用方向的位移分别为（1）设在线弹性结构上作用力F1,F21,2
7、一、功的互等定理12F1F2F1和F2完成的功应为（2）在结构上再作用力F3,F4沿F3和F4方向的相应位移为3,4F3和F4完成的功应为F334F4（3）在F3和F4的作用下,F1和F2的作用点又有位移F1和F2在1´和2´上完成的功应为F1F212F334F4因此,按先加F1,F2后F3,F4的次序加力,结构的应变能为1´和2´F1F21234F4F3若按先加F3,F4后加F1,F2的次序加力,又可求得结构的应变能为由于应变能只决定于力和位移的最终值,
