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《材料力学 第9章 能量法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第九章能量法MechanicsofMaterials材料力学第九章能量法§9-1概述§9-2杆件变形能的计算§9-3互等定理§9-4单位荷载法莫尔定理§9-5卡氏定理§9-6计算莫尔积分的图乘法§9-1概述在弹性范围内,弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量,称为弹性变形能,简称变形能.一、能量方法三、变形能二、外力功固体在外力作用下变形,引起力作用点沿力作用方向位移,外力因此而做功,则成为外力功.利用功能原理Vε=W来求解可变形固体的位移,变形和内力等的方法.可变形固体在受外力作用而变形时,外力和内力均将作功.对于弹性体,不考虑其他能量的损失,外力在相应位移上作的功,在数值
2、上就等于积蓄在物体内的应变能.Vε=W四、功能原理§9-2杆件变形能的计算一、杆件变形能的计算1.轴向拉压的变形能当轴力或截面发生变化时:当轴力或截面连续变化时：应变能密度（比能）:2.扭转杆内的变形能或纯弯曲横力弯曲3.弯曲变形的变形能4.组合变形的变形能截面上存在几种内力,各个内力及相应的各个位移相互独立,力独立作用原理成立,各个内力只对其相应的位移做功.二、变形能的普遍表达式F--广义力包括力和力偶δ--广义位移包括线位移和角位移B'C'F3BCF2AF1假设广义力按某一比例由零增致最后值对应的广义位移也由零增致最后值.对于线性结构,位移与荷载之间是线性关系，任一广义位移,例如
3、2可表示为F3ABCF1F2B'C1F1,C2F2,C3F3分别表示力F1,F2,F3在C点引起的竖向位移.C1,C2,C3是比例常数.F3/F2在比例加载时也是常数F1/F2和2与F2之间的关系是线性的.同理,1与F1,3与F3之间的关系也是线性的.在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功iFiF3ABCF1F2B'——克拉贝隆原理（只限于线性结构）Fii三、变形能的应用1.计算变形能2.利用功能原理计算变形两力作用点沿力作用方向的位移分别为F1,F2（1）设在线弹性结构上作用力1,2一、功的互等定理§9-3互等定理12F1F2F1F212F1和F2完成的功
4、应为（2）在结构上再作用有力F3,F4沿F3和F4方向的相应位移为3,4F334F4F3和F4完成的功应为（3）在F3和F4的作用下,F1和F2的作用点又有位移F1和F2在1´和2´上完成的功应为F1F212F334F4因此,按先加F1,F2后F3,F4的次序加力,结构的应变能为1´和2´F1F21234F4F3若按先加F3,F4后加F1,F2的次序加力,又可求得结构的应变能为由于应变能只决定于力和位移的最终值,与加力的次序无关,故功的互等定理:第一组力在第二组力引起的位移上所作的功,等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功.二、位移互等定理若第一组
5、力F1,第二组力只有F3,则如果F1=F3,则有位移互等定理：F1作用点沿F1方向因作用F3而引起的位移等于F3作用点沿F3方向因作用F1而引起的位移.三、注意（1）力和位移都应理解为广义的.（2）这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下，只是由变形引起的位移.§9-4单位荷载法莫尔定理一、莫尔定理的推导求任意点A的位移wAF1F2AA图b变形能为aA图F1F2=1F0AF1F2图cwAF0=1（1）先在A点作用单位力F0,再作用F1,F2力（2）三个力同时作用时任意截面的弯矩:变形能:桁架：二、普遍形式的莫尔定理注意:上式中Δ应看成广义位移,把单位力看成与广义位移相对应的广义力.三
6、、使用莫尔定理的注意事项（5）莫尔积分必须遍及整个结构.（1）M(x)：结构在原载荷下的内力;（3）所加广义单位力与所求广义位移之积,必须为功的量纲;（2）——去掉主动力,在所求广义位移点,沿所求广义位移的方向加广义单位力时,结构产生的内力;M（4）与M(x)的坐标系必须一致,每段杆的坐标系可自由建立;M(x)213设弹性结构在支座的约束下无任何刚性位移.作用有外力:F1,F2,,Fi,相应的位移为：1,2,,i,§9-5卡氏定理F1F2F3结构的变形能只给Fi一个增量Fi.引起所有力的作用点沿力方向的位移增量为213F1F2F3在作用Fi的过程中,F
7、i完成的功为原有的所有力完成的功为结构应变能的增量为如果把原来的力看作第一组力,而把Fi看作第二组力.根椐互等定理略去高阶微量或者当Fi趋于零时,上式为这就是卡氏第二定理（Castigliano’sSecondTheorem)（1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体说明：（2）Fi为广义力，i为相应的位移一个力一个力偶一对力一对力偶一个线位移一个角位移相对线位移相对角位移（3）卡氏第二定理的应用（a）轴向拉、压（b）扭转（c）弯曲（4）平面桁架（5）组合
