m材料力学第11章能量法

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1、第11章能量法11.1外力功与应变能的一般表达式11.2变形体虚功原理11.3单位载荷法11.4冲击应力分析11.5构件加速运动时的动应力分析11.1外力功与应变能的一般表达式11.1.1外力功的计算在外力作用下，弹性体发生变形，载荷作用点随之产生位移。载荷作用点在载荷作用方向的位移分量，称为该载荷的相应位移。对于由零缓慢增加到最终值的静载荷f，若其相应位移为Δ（见图11－1(a)），则此力的功为（11－1）如果材料服从胡克定律，而且构件或结构的变形很小，则构件或结构的位移与载荷成正比（见图11

2、－1(b)），此时研究对象为线性弹性体，显然此时外力的功为（11－2）式(11－2)是计算线性弹性体外力功的基本公式。应该指出，式中的F为广义力，即或为集中力，或为集中力偶，或为一对大小相等、方向相反的力或力偶等；式中的Δ则为相应的广义位移，与集中力相应的位移为线位移，与集中力偶相应的位移为角位移，与一对大小相等、方向相反的力相应的位移为相对线位移，与一对大小相等、方向相反的集中力偶对应的相应位移为相对角位移。总之，广义力在相应广义位移上做功。图11－1另外可以证明，当线性弹性体上同时作用几个

3、载荷F1、F2、…、Fn时，不论按何种方法加载，广义力在相应广义位移Δ1、Δ2、…、Δn上所做之总功恒为（11－3）上述关系称为克拉比隆定理。11.1.2应变能的计算根据功能原理，存储在构件内的应变能等于外力所做之功，对于线性弹性体1.轴向拉压时的应变能在前面已经讨论过，当杆件处于轴向拉伸或压缩时，其应变能为若轴力FN沿杆件轴线为一变量FN(x)，则应变能的一般表达式为（11－4）若结构是由n根直杆组成的桁架，整个结构内的应变能为（11－5）式中FNi、li、Ei和Ai分别为桁架中第i根杆的轴力、

4、长度、弹性模量和横截面面积。2.圆轴扭转时的应变能圆轴受扭时（见图11－2），扭转角为其应变能为（11－6）若扭矩T沿轴线为一变量T(x)，则应变能的一般表达式为（11－7）图11－23.梁弯曲时的应变能在一般情况下（见图11－3(a)），梁的弯矩和剪力均沿轴线变化，因此，梁的应变能应从微段dx入手进行计算（见图11－3(b)）。　　在弯矩M（x）作用下，微段两端横截面作相对转动（见图11－3(c)），且在剪力FS（x）作用下，微段产生剪切变形（见图11－3(d)）。所以，横力弯曲时，弯矩仅在相

5、应的弯曲变形上做功；剪力仅在相应的剪切变形上做功。但是，对于细长梁，剪力所做的功远小于弯矩所做的功，通常可忽略不计。所以，梁微段dx的应变能为而整个梁的变形能则为（11－8）图11－34.组合变形杆件的应变能组合变形时，圆截面杆微段受力的一般形式如图11－4(a)所示。图11－4由于小变形的情况下各内力分量引起的应变互不耦合，在忽略剪力影响的情况下，由功能原理与克拉比隆定理可得，微段dx的应变能为而整个杆或杆系结构的应变能为上式只适用于圆截面杆。对于非圆截面等一般杆件，则有（11－9）（11－1

6、0）例11－1图11－5所示悬臂梁，在自由端承受集中力F与矩为Me的集中力偶作用。试计算外力所做之总功。设梁的抗弯刚度EI为常数。解对于线性弹性体，根据叠加原理，截面A的挠度与转角分别为(↑)图11－5根据式（11－3）可知，载荷F与Me所做之总功为讨论：若载荷F与Me分别单独作用在该悬臂梁时，他们所做功的和为即载荷所做之总功不能利用叠加原理进行计算。因为在一般情况下，各载荷所做之功并非仅与该载荷引起的位移有关，而且与其他载荷在该点处引起的位移也有关。11.1.3互等定理当线性弹性体上作用几个外力

7、时，外力所做之总功或弹性体的应变能与外力的加载次序无关。据此，可以建立两个重要的定理——功的互等定理与位移互等定理。　　图11－6(a)、(b)所示为同一线性弹性体（以简支梁为例）的两种受力变形状态。规定广义位移Δij表示作用在点j的载荷Fj引起的点i沿Fi方向的位移。在第一种受力状态（见图11－6(a)）下，则点1、点2的位移分别为Δ11、Δ21；在第二种受力状态（见图11－6(b)）下，则点1、点2的位移分别为Δ12、Δ22。图11－6考虑两种加载方式。一是先加F1、然后再加F2（见图

8、11－6(c)），则外力所做总功为（a）另一种加载方式是先加F2、然后再加F1（见图11－6(d)），则外力所做总功为（b）而外力所做之总功与加载次序无关，W1=W2，因此可得（11－11）作为上述定理的一个重要推论，如果F1=F2，则由式(11－11)得（11－12）即当F1与F2的数值相等时，F2在点1沿F1方向引起的位移Δ12，等于F1在点2沿F2方向引起的位移Δ21。此定理称为位移互等定理。另外，还可以进一步证明，功的互等定理不仅存在于两个外力之间，而且存在于两组外力系之