材料力学 第8章 能量法2

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1、L应变能计算克拉贝隆原理上节回顾第八章能量法能量法/卡氏定理注意：只有当弹性系统为线性，即其位移与载荷成线性关系时，才能应用卡氏第二定理。上节回顾三、卡氏定理卡氏第二定理线弹性结构的应变能，对于作用其上的某一广义外力的变化率(偏导数)，等于与该广义外力相应的广义位移。能量法/卡氏定理上节回顾在所求位移处沿所求位移的方向上加上一个虚设的集中力或集中力偶；或一对力或一对力偶，此时应变能为：附加载荷法由卡氏定理得：或能量法/功的互等定理位移互等定理上节回顾功的互等定理结构的第一力系在第二力系所引起的弹性位移上所做的功，等于第

2、二力系在第一力系所引起的弹性位移上所做的功。能量法/功的互等定理位移互等定理上节回顾由功的互等定理位移互等定理注意：1.上述互等定理对于所有的线性结构都适用。2.力和位移应理解为广义力和广义位移。当F1=F2=F时（力与位移成线性关系的结构）五、虚功原理1.虚位移*可能内力——与外力保持平衡的内力。可能位移——满足位移边界条件和变形连续条件的位移。○○○虚位移*约束允许（满足约束条件）的可能位移满足连续条件的任意的（不是唯一的）微小位移。○○○真实位移虚位移（1）可以是与真实位移有关的位移，也可以与真实位移无关○○

3、○虚位移真实位移与真实位移无关（2）可以是真实位移的增量○○○真实位移真实位移的增量虚位移（3）可以是另外一个与之相关的系统的真实位移y1(x)y1(x)虚位移总之，虚位移是指实际有可能发生的无限小位移,它与荷载无必然关系。因此，它不是唯一的。虚位移通常，虚位移是在平衡位置上再增加的位移。在施加虚位移过程中，物体原有外力和内力保持不变。“虚位移”一词，用以区别物体自身原有外力引起的位移。2.虚功W﹡外力在虚位移上作的功。一般计算虚功是在一个平衡力系上给一个虚位移，这时各力做功是常力作功，因此式中δi*是与Fi对应的虚位

4、移。3.虚应变能U﹡弹性体在发生虚位移过程中增加的应变能。其数值等于内力虚功。d(⊿l)﹡FNFNMMdxdθ﹡FSFSdλ*若有扭转虚位移，被积函数应加一项Tdφ﹡.4.刚体虚功原理作用在刚体上的平衡力系在任意虚位移上所作的虚功之和等于零。5.变形体虚功原理对处于平衡状态的变形体施加虚位移，则外力在虚位移上所作的虚功等于弹性体的虚应变能。以梁为例○○○F1FiF2变形体虚功原理变形体在发生虚位移时,外力做虚功-----内力也做虚功------＝○○○F1FiF2外力虚功计算变形体虚功原理MMdxFSFSdλ*dθ﹡内

5、力虚功计算微段总虚功微段内力虚功微段外力虚功一般地变形体虚功原理※（1）虚功原理与材料性能无关——适用线弹性、非线弹性材料；（2）不要求结构位移与力呈线性关系——也适用位移与力呈非线性的结构。六、单位力法（一）单位力法（Maxwell-Mohr1864～1874）1.用途：计算任意点处位移（广义）2.方法：利用虚功原理第一步构造一单位力状态：在所求位移处施加一个对应单位力；计算结构只在此单位力作用下各截面的内力第二步取原结构的实际位移状态作为单位力状态的虚位移。○○○○○○原问题δ实际位移状态作为虚位移Kδα单位力状态

6、1Kαd(⊿l),dθ,dλ,dφ——原状态，真实载荷引起适用：线性、非线性结构。○○○δ实际位移状态单位力状态1Kα据虚功原理——单位力引起的内力(二)莫尔积分（Mohr1874）图中FN,M,T为真实载荷引起的内力对线弹性结构，取微段dx计算dxTFNMMMdθdxdxTdφd(⊿l)FNFNdxd(⊿l)=Mohr积分应用Mohr积分计算位移的步骤：1.计算原结构在真实载荷作用下的内力方程2.构造虚力状态，沿指定方向加单位力（广义），计算原结构只在单位力作用下的内力方程（坐标一致）3.计算Mohr积分。结果为正，

7、位移方向与单位力相同，负则相反（对刚架：忽略轴力和剪力）计算相对位移，可加一对单位力（广义）。例题已知：EI=常数求：A，B之间的相对线位移解：1.建立坐标系FFBA3.加单位力并求单位力引起内力方程（0≤≤2π）（0≤≤2π）4.求ΔABR11ABR（沿载荷方向分开）M=－FRsin2.求载荷引起的内力方程单位力法CBAABC1平面直角刚架两段的EI和EA分别相等，是求C点的铅直位移。在求解刚架时，一般假设使刚架内侧受压的弯矩为正：取如图坐标，刚架两段的弯矩，轴力分别为：BC段：AB段：由于要求C点的铅直位移，

8、在C点施加铅直的单位力，则有，单位力引起的弯矩分别是：单位力法CBAABC1根据莫尔定理：正值表明，位移的方向与单位力相同，即向下。讨论：如果b=a,且杆为圆截面，直径为d,则有：单位力法第一项是弯曲引起的位移，第二项是由轴力引起的。第二项相对第一项而言很小。所以在求刚架位移时，一般都忽略轴力的影响。单位力法如图，四分之一圆弧小曲