矩形的折叠问题的探析

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1、矩形纸片的折叠问题的探析矩形纸片的折叠问题，顾名思义，也就是将矩形纸片按照某种程序折叠，然后，按此程序模拟出平面图形，并按要求完成相应的计算和证明。折叠问题，本质上属于图形的轴对称变换。折叠后的图形与原图形全等，解决这类问题时要抓住因折叠而形成的等线段和等角，这些相等关系是解决问题的关键。这类题目既有趣味性，又有可操作性。学生通过动手实践自主去探索、认识和掌握图形的性质，不仅积累了数学活动的经验，而II还发展了他们的空间观念；另外，还可以培养学生的数学思维能力、运用能力、空间想象能力、解题能力和探究精神。事实上，七年级时，学生已经有一淀的折叠经验，如将纸带折叠

2、求相应的角的度数。八上的图形的轴对称变换知识，勾股定理及其刚刚所学的矩形的性质都是本节课的知识基础。学生初遇翻折问题，往往一片茫然，不知从何下手，究其原因是对由折叠产&的相等线段和相等角这个条件。另外，因为折叠而形成的图形较抽象，需要一定的空间想象能力，而这方面能力是学生较欠缺的。通过对矩形折叠问题产生的三种基本图形的解决，来谈谈矩形屮折叠问题。例1：如图，在矩形ABCD中，已知AB二6cm,BC=10cm,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE,求CE的长。分析：根据轴对称图形的性质，由折叠可得AD=AF=10,DE=DF,ZDAE=/E

3、AFO设DE=X,贝CE=6-X,EF=X.根据勾股定理，由aABF是直角三角形，可得BF=7102-62=8,则CF=2由aCEF是直角三角形,可得CF2+CE2=EF29则有22+（6-X）2=X2,解得故CE=6-^=

4、变式练习：现有一张矩形纸片ABCD（如图），其中AB=4cm,BC=6cm,点E是BC的屮点。实施操作将直线AE对折，使点B落在梯形AECD内，记为点B（1）请用尺规，在图中作出保留作图痕迹）；（2）试求3'、C两点之间的距离。AD分析：折叠的本质是轴对称变换，故根据轴对称变化的性质可以画出第1题的图形。D在画出图形的基础上，根据轴对称变

5、化的性质，可得DAB=AB=4,BE=BE=3°才艮据等面积法，通过求四边形ABBA的面积,可求得BB'艺。根据在三角形中，一边中线等于这条边的一半，则此三角形是直角三角形，可得CBB是直角三角形。根据勾股定理，可得BC二』6?—梓丫弋殛例2.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，使点A落在点E处，BE交CD于点E,已知ZABD=30°(1)求ZCDE的度数。(2)求证：EF=FCt分析：根据轴对称图形的性质，由折叠可得zABD=zDBE=30°,zADB=zBDE=60°,故ZCDE=30°根据轴对称性质，有折叠可得BE=DC,又由ZCDB=ZDBF=

6、3Qo,可得DF=BF,故BE-BF=CD-DF即EF=CF例3.如图，一张矩形纸片ABCD的长AD=9cm,宽AB=3cm0现将其折叠，使点D与点B重合。求折叠后BE的长和折痕EF的长。分析：本题图形略显复杂。由轴对称图形的性质，可得BE=DEO设BE=DE=X,由勾股定理可得AB2+AE2=BE2,列方程得32+(9-X)?=X?解得X=5即AE=4,DE=5,BE=5O由zBED=zBFE得BE=BF=5,过点E做EH垂直BC,则BH=7be2-BW2=75T^3T=4,则FH=1故EF=71^=710变式练习：在例3的条件下，连结DF,问四边形DEBF

7、是什么特殊四边形？并说明理由。分析：由例3分析可得，DE=BF,又因为DE//BF,所以四边形DEBF是平行四边形。又因为DE=BE,所以平行四边形DEBF是菱形。小结：综上所述，可以发现折叠问题的解决，大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化，是解决这类问题的突破口。有了“折”就有了“形”一一轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”一一线段之间、角与角之间的数量关系。“折”就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。通过以上三个基本图形分分析，不难看出解答此类问题的关键在于：因折叠产生的相等的线段和角。