有关矩形的折叠问题

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1、有关矩形的折叠问题在初二下学期中有关于四边形的一章知识，其中矩形是一种特殊的平行四边形，在矩形中有一类折叠问题是考试的热点。下面就这个问题谈谈自己的儿点看法。既然是折叠，肯定有全等图形出现，而且是在矩形中折叠，一般有直角三角形出现，那么在求有关边的长度的时候可以考虑勾股定理。解此类题的i般思路是利用全等找到直角三角形中两边之间的关系，而另一边一般是已知，进而利用勾股定理列出关于一边的方程求解。例1・如图，矩形力2力的边长肋=6,BC=,将矩形沿〃尸折叠，使C点与力点重合，则折痕矿的长是o【提示】设AE=x,则ED=8—x,CE=x,用勾股定理列出方程x=(8—x)275I+6?,

2、解出尸才，而0A=-AC=5.例2.如图，矩形纸片力2力中，AB=3cm,BC=4cm.现将力，c重合，使纸片折叠压平，设折痕为〃；试求力尸的长和重叠部分肘的面积.【提示】把加7取作△加F的底，加7边上的高等于AB=3.由折叠过程知，防经过矩形的对称中心，FD=BE,AE=CE=AF・此可知在滋中使用勾股定理求AE,即求得M的长.【答案】如图，连结SC,交EF于点、0,由折叠过程可知，0A=0C,・・・。点为矩形的对称屮心.E、厂关于。点对称，B、D也关于。点对称.■•・BE=FD,EC=AF,由比折叠后与EA重合，・・・EC=EA・设AF=x,则BE=FD=AD—AF=4_x,

3、AE=AF=x.在R4BE中，由勾股定理，得加+加=戒，即解得"=¥•・・・(c^)757气故"的长为訂，△阿的面积为才［例3•如图中图1,矩形纸片ABCD的边长分别为a,b（a

4、每次翻折的过程中都为45°（如图4）,每次翻折后,非重叠部分的四边形MCQD,及四边形BP/VN的周长与有何关系，为什么？BCX.D【思路点拨】（1）PN//MN・因为四边形ABCD是矩形，所以AD//BC,且〃在AD直线上，则有AM//BC,/.ZAMP=ZMPC,由翻折可得：ZMPQ=ZCPQ=ZMPC,ZNMP=ZAMN=-ZAMP，.IZMPQ=ZNMP,故P0〃MN•2（2）两折痕P0,MN间的距离不变。过P作PH丄MN,贝ljPH=PM^mZPMH,因为乙QPC的角度不变，所以ZC'PC的角度也不变，则所有的PM都是平行的.又因为AD//BC,所以所有的都是相等的，又

5、因为乙PMH=ZQPC,故/刃的长不变.（3）当ZQPC=^时，四边形PCQC是正方形，四边形CQDM是矩形.因为C'Q=CD，C'Q+QD=a,所以矩形C'QDM的周长为2臼。同理可得矩形的周长为2臼，所以两个四边形的周长都为2臼，与b无关.【答案】（1）PQ〃MN；（2）两折痕PQ,MN间的距离不变；（3）矩形C'QDM的周长为2臼，矩形胡4N的周长为2弘【方法点拨】部分学生因为未能仔细阅读操作过程，所以难以理解题意，即使猜想出结论，也无法加以证明。突破方法：耐心研读题目条件，理解透彻。（1）问证明时，紧紧抓住翻折问题屮存在的轴对称或者全等关系加以证明；（2）利用三角函数，将

6、角的不变量转化为边的不变量；（3）将矩形的面积用已知条件表示出来，再作判断。