矩形的折叠问题

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1、专题训练矩形的折叠问题类型之一　沿矩形对角线所在直线对折1．如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为点C′，若∠ADC′＝20°，求∠BDC的度数．2．如图,将矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△AEC的位置，且CE与AD相交于点F.求证：EF＝DF.3．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝8cm，把矩形纸片沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，AE交DC于点F，若AF＝cm，求AD的长．图8－ZT－34．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′的位置，AB′与CD相交于点E.若AB＝8，DE＝3，P为线段AC上任意一点，PG⊥AE于点

2、G，PH⊥EC于点H，试求PG＋PH的值，并说明它是定值．类型之二　沿仅过矩形一个顶点的直线对折5．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，求AG的长．46．如图，折叠矩形ABCD，使顶点D与BC边上的点F重合，如果AB＝6，AD＝10，求BF，DE的长．7．如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，求图中阴影部分的面积．8．如图，将一张矩形纸片ABCD沿CF折叠，使点D与AB的中点E重合，求AF∶FD的值．类型之三　沿矩形对角线的垂直平分线对折9．把一张矩形纸片ABCD按如图

3、方式折叠，使点B和点D重合，折痕为EF.若AB＝3cm，BC＝5cm，求重叠部分△DEF的面积．10．如图，在矩形ABCD中，沿EF将矩形折叠，使A，C两点重合，AC与EF相交于点H.(1)求证：△ABE≌△AGF；(2)若AB＝6，BC＝8，求△ABE的面积．11．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，EF为折痕．(1)求证：△FGC≌△EBC；(2)若AB＝8，AD＝4，求四边形ECGF(阴影部分)的面积．4详解详析1．解：∵∠ADC′＝20°，根据矩形的性质可知∠ABC′＝20°，由折叠的性质可知∠DBC＝∠C′BD＝35°，∴∠BDC＝90°－35

4、°＝55°.2．证明：由折叠和矩形的性质可知∠D＝∠B＝∠E，AE＝AB＝CD.在△AEF和△CDF中，∴△AEF≌△CDF(A.A.S.)，∴EF＝DF.3．解：由折叠和矩形的性质可知∠EAC＝∠BAC＝∠DCA，则AF＝CF，已知AB＝8cm，AF＝cm，根据矩形的性质可知DF＝cm，由∠D＝90°，根据勾股定理可求得AD＝6cm.4．[解析]由折叠的性质可知∠BAC＝∠B′AC，延长HP交AB于点M，根据矩形和角平分线的性质可知GP＝MP，故PG＋PH＝PM＋PH＝MH＝AD，由AB＝8，DE＝3，可知EC＝5，由∠1＝∠2＝∠3，可得AE＝5，再由勾股定理便可求得AD＝4.解：如

5、图，延长HP交AB于点M，则PM⊥AB.∵∠1＝∠2，PG⊥AB′，∴PM＝PG.∵CD∥AB，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝CE＝8－3＝5.在Rt△ADE中，DE＝3，∴AD＝＝4.∵PH＋PM＝AD，∴PG＋PH＝AD＝4.∵AD边的长是固定不变的，∴PG＋PH是定值．5．解：由已知，得△ADG≌△A′DG，BD＝5，∴A′G＝AG，A′D＝AD＝3，∴A′B＝5－3＝2，BG＝4－A′G.在Rt△A′BG中，BG2＝A′G2＋A′B2，即(4－A′G)2＝A′G2＋22，解得A′G＝，∴AG＝A′G＝.6．解：设DE＝x，则EC＝CD－x，∵在矩形ABCD中，AB＝6，AD

6、＝10，∴BC＝AD＝10，CD＝AB＝6.∵AE为折痕，∴AF＝AD＝10，EF＝DE＝x.在Rt△ABF中，BF＝＝＝8，∴FC＝10－8＝2.在Rt△EFC中，EF2＝FC2＋EC2，4即x2＝22＋(6－x)2，解得x＝.故BF的长为8，DE的长为.7．解：由已知，得EF＝DE＝5cm，根据矩形的性质，得∠C＝90°.在Rt△EFC中，由勾股定理，得CF＝4cm.设BF＝xcm，则AF＝AD＝BC＝(x＋4)cm.在Rt△ABF中，由勾股定理，得82＋x2＝(x＋4)2，解得x＝6，即BF＝6cm.故阴影部分的面积＝BF·AB＋CF·CE＝×6×8＋×4×3＝30(cm2)．8．

7、[解析]本题可根据矩形纸片ABCD的面积等于四个三角形面积的和，求出AF与FD的关系，再得AF与FD之比．解：设AF＝a，FD＝b，AB＝c，则EF＝FD＝b.由折叠的性质得△EFC≌△DFC.所以S矩形ABCD＝S△AEF＋S△BEC＋2S△DFC，即c(a＋b)＝ac＋c(a＋b)＋bc，整理得2a＝b，所以a∶b＝1∶2.即AF∶DF＝1∶2.即AF∶DF的值为.9．解：由折叠的性质可得A′B′＝AB，A′E＝AE.在Rt△A