数列的综合运用-旧人教[整理]

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1、数列的综合运用目标1.进一步理解等差数列和等比数列的概念和性质.2.能熟练应用等差数列与等比数列的通项公式，小项公式，前n项和公式，强化综合运用这些公式解题的能力.3.在解数列综合题的实际屮加深对基础知识，基木技能和基木数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力.基础知识数列与函数的关系数列是一类特殊的函数.从函数的观点看，对于一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2,3,4,…,n｝）的函数來说，数列就是这个函数当自变量从小到大依次取值时对

2、应的一列函数值.等差数列与函数的关系公差dHO时，an9Sn分别是n的一次函数和二次两数.反过来，如果是n的一次函数，那么｛aj—定是公差不为0的等差数列；如果S.是n的二次函数且常数项为0,那么｛an｝一定是公差不为0的等差数列.通项与前n项和Sn之间的关系：'0—Sn_](n=1)(n>2)-高考命题趋势数列是初等数学与高等数学衔接和联系最密切的内容之一，是进一步学习高等数学的基础，数列的题冃形态多变，蕴含丰富的数学思想和数学方法，是高考的热点在近儿年新教材的高考试题屮，对数列的考查多以解答

3、题的形式出现，数列与两数，数列与不等式等的综合知识，在知识的交汇点处设计题目，成为高考对能力和素质考查的重要方而.在数列方面的考查，对能力方面的要求，呈现越來越高的趋势，对知识考杳的同时，伴随着对数学思想方法的考查.在近儿年新教材的高考试题小，数列约占9%左右，考查的内容主要有：①等差数列、等比数列的基本知识（定义、通项公式、前n项和公式）；②等差数列、等比数列与其他知识点的综合运用，及应丿IJ数列知识解决实际问题；③函数和方程的思想，化归思想，分类讨论思想，待定系数法等.典型例题讲解：例1.已

4、知"1)=2,f(n+1)=2f⑹+1⑴丘NJ，求f(101)的值.解：f(l)=2f(n+1)=f(n)+-,f(n)=2+(n-1)x丄，故f(101)=52.22例2.已知数列｛%｝中a,=1,且a2k=3^+(-!/,a2k+1=a2k+3k,其中k",2,3,…(1)求a3,a5;（2）求｛an｝的通项公式.解：(1)a2=a】+(-1)=0,a3=a2+3=3,a4=a3+(-1)2=4,a5=a4+32=13,所以，a3=3,a5=13.⑵a2k+i=a2k=a2k_!+(-l)k

5、+3k,所以a2k+1-a2k_(=3k+(-l)k,同理a2k-i_a2k-3=少+(-l)k_1,,a3-aj=3+(-1).所以(a2k+l_a2k-l)+(a2k-l_a2k-3)+•••■*■(a3_ai)=(3k+31+・・・+3)+[(-1$+(-l)i+・・•+(—1)],31由此得a2k+1-a.=-(3k-l)+-[(-l)k-l],于是5知7k1lkTZ+(-1*p+尹旷-1+(-1${a.}的通项公式为：2k+l屮+ii「+丄(-1/-1.22+-(-1)22=1n+13

6、丁—1当n为奇数时，an=——+(-1)2x--l;当n为偶数时，an22n32-1—+(-l)2X--1.22例3.在公差不为零的等差数列｛a“｝及等比数列｛"｝中，已知如=1,Hg=b】，a2=b2,a8=匕3・⑴求数列｛an｝的公差d和｛“｝的公比q；(2)是否存在常数a、b使得对于一切自然数n,都有a.=logabn+b成立，若存在,求出a、b的值，若不存在，说明理由.解：(1)b]=a】=1.a1+d=b]q,a】+7d=b]q‘=>sq:>q=6d=5*⑵an=5n-4,bn=6n_

7、1.假设存在，则有5n-4=loga60-1+b^5n-4=(n-l)loga6+b•oga6=5=b一loga6=-4=^>5n-4=nloga6+b-loga6na=V6b=l•••存在〈使a*=logabn+b成立.b=1例4.设数列仏｝的前〃项和为S”，已知⑷=1卫2=6®=11，且(5n-8)S卄]—(5n+2)Sn=An+B,n=123,…，其中A.B为常数⑶证明：不等式J玄:-血忑>1对任何正整数W都成立(I)由已知，得S]=Q]=1,S?=Q]+①=7，S3=Q]+=18由(5n

8、—8)S“+]-(5/2+2)S“=An+B,知[-35.-7S,=A+B(A+B=-2821，即彳解得A=-20,B=-8・[253-1252=2A+B[2A+3-48(II)由(I)W-(5n-8)S,l+1-(5/14-2)5.=-20n-8①所以(5〃一3)S”+2-(5〃+7)Sn+l=-20/?-28②②-①得(5川-3)S”+2-(1On-1)S讪+(5n+2)5,,=-20③所以(5〃+2)S”+?—(1On+9)S”+2+(5n+7)Sn+l=-20④④-③得(5m+2)S”+