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1、探究题型一1、请阅读下列材料：问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1,请把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）屮用实线画出拼接成的新正方形.小东同学的做法是：设新正方形的边长为班兀＞°）.依题意，割补前后图形的面积相等，有戏=5,解得兀=品.由此可知新正方形的边长等于两个正方形组成的矩形对角线的长.于是，画出如图2所示的分割线，拼出如图3所示的新正方形.请你参考小东同学的做法，解决如下问题：现有10个边长为1的正方形，排列形式如图4,请把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求：在图4中画出分割线，并在图5的正
2、方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形.解：所画图形如图所示.图52、如图1,OP是ZMON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1)如图2,在△ABC屮，ZACB是直角，ZB=60,AD,CE分別是ZBAC,ZBCA的平分线，AD,C£相交于点F.请你判断并写出FE与"之间的数量关系；(2)如图3,在△ABC中，如果ZACB不是直角，而(1)中的其他条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.解：图略.画图正确得1分.(1
3、)FE与FD之间的数量关系为FE=FD(2)答：(1)中的结论FE仍然成立.证法一：如图4,在AC上截取AG=AEt连结FG.因为Z1=Z2,AF为公共边，可证△AEF^/AGF所以=FE=FG由ZB=60,AD,CE分别是ZBAC,ABCA的平分线可得Z2+Z3=60°.所以ZAFE=乙CFD=ZAFG=60°.所以ZCFG=60.由Z3=Z4及FC为公共边,可得△CFG竺/CFD.所以FG=FD.所以FE=FD.证法二：如图5,过点F分别作FG丄于点G,FH丄BC于点H.图5因为ZB=60°,RADtC£分别是"AC,ZBCA的平分线,所以可得Z2+Z3=6(T,F
4、是△ABC的内心.所以ZGEF=6O°+Z1,FG=FH又因为ZHDF=ZB+4,所以ZGEF=ZHDF因此可证公EGF竺△DHF.所以FE=FD.3、已知抛物线尸启+加+°与）'轴交于点4（°，3）,与兀轴分别交于B（l，°）,C（5,0）两点.（1）求此抛物线的解析式；（2）若点°为线段°4的一个三等分点，求直线°C的解析式；（3）若一个动点P自0A的屮点M出发，先到达兀轴上的某点（设为点E）,再到达抛物线的对称轴上某点（设为点尸），最后运动到点A.求使点P运动的总路径最短的点E,点F的坐标，并求出这个最短总路径的长.解：（1）根据题意，°=3a-—y5A18b=•y5
5、所以抛物线解析式为Ja+b+3=0,所以］25。+5/?+3=0•解得〔（2）依题意可得°4的三等分点分别为（°』），（°，2）.设直线cd的解析式为y=kx+b.2181Imi、y=—X+1当点D的坐标为（°4）时，直线CD的解析式为5；当点D的坐标为（°'2）时，直线CD的解析式为‘一5A+2（3、M0,-I2丿5%+3（3）如图，由题意，可得15DC图1ADC图2点A关于抛物线对称轴兀=3的对称点为A'（6,3）.连结A%'.根据轴对称性及两点间线段最短可知，的长就是所求点P运动的最短总路径的长.所以A'M'与兀轴的交点为所求E点，与直线兀=3的交点为所求F点.333
6、）可求得直线的解析式为4’2•可得E点坐标为（20）,F点坐标为I4丿=—由勾股定理可求出2.所以点P运动的最短总路径（ME+EF+FA）的长为2.4、我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形•请解答下列问题：（1）写出你所学过的特殊四边形中是等対角线四边形的两种图形的名称；（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60’时，这対60’角所対的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论.解：（1）长方形、正方形.（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为605寸，这对60”角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长.
7、已知：四边形ABCD+,对角线AC,BD交于点°,AC=BD，且ZAOD=60求证：BC+ADMAC证明：过点D作DF//ACf在DF±截取DE,使DE=AC.连结CE,BE.故ZEDO=601,四边形ACED是平行四边形.所以是等边三角形，CE=AD.所以==①当BC与CE不在同一条直线上时（如图1）,在△BCE屮，有BC+CE>BE所以BC+AD>AC②当BC与CE在同一条直线上时（如图2）,则BC+CE=BE因此BC+AQ二AC.综合①、②，得BC+AD2AC.即等对角线四边形屮两条对角线所夹角为6。吋，这对
