问题类比探究与拓广应用习题

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1、问题类比探究与拓广应用习题1.（2009太原）问题解决如图（1）,将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C,CF1AMD重合），压平后得到折痕当——二一时，求——的值.CD2BN方法指导：为了求得霧的值，可先求跖、的长，不妨设：込2类比归纳在图（1）中,值等于“CE1…AM_..若——=一，则——的值等于CD3BNCFiam；若—=-（/7为整数），则——的值等于~CDnBN:若竺丄则竺的CD4BNDEC•（用含的式子表示）联系拓广如图（2）,将矩形纸片ABCD折叠，使点3落在CQ边上一点E（不与1CF1点C,。重合），压平

2、后得到折痕MN,设——=-（777>1）,——=—，则BC7CDnAM——的值等十BN•（用含加〃的式子表示）CDE问题解决解：方法一：如图（1-1）,连接BM,EM,BE.由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称.AMN平分BE・:.BM=EM,BN=EN・・・•四边形ABCD是正方形，:.ZA=ZD=ZC=90°tAB=BC=CD=DA=2.CF1・・・——=—,..CE=DE=・政BN=x,则NE=x,NC=2-x・CD2oS5在R心CNE中，NE1=CN2+CE1.:.x2=（2-x）~+12.WW-x=-，即BN=~

3、.'）44在Rt^ABM和在Rt/XDEM屮，AM2+AB2=BM2,DM1+DE2=EM2・•.AM2+AB2DM1+DE・AM-1'~BN~5设AM=yf则DM=2—p・・・/+22=（2-j；）2+12.=，即方法二同方法一，BN=>.如图（1—2）,过点、N做NG//CD,交AD于点、G,4连接BE.IAD//BC,:.四边形GDCN是平行四边形.NG=CD=BC.同理，四边形ABNG也是平行四边形.・・・AG=BN=-.4・・・MN丄BE,:.ZEBC+ZBNM=90°.••・NG丄BC,:.ZMNG+乙BNM=90°,乙EBC=乙

4、MNG.[ZEBC=ZMNG,在HBCE与△NGM中

5、1)如图12-1,正三角形z/BC中，在4B、/C边上分别取点A/、N,恆BM=4N,连接BN、CM,发现BN=CM,且ZNOC=60°・请证明：ZNOC=60°.(2)如图12-2,正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N,使AM=BN,连接AN.DM,那么AN=,H乙DON=度.(3)如图12-3,正五边形ABCDE中，在/B、BC边上分别取点A/、N,使AM=BN，连接/N、EM,那么AN=,KAEON=度.(4)在正边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论.请大胆猜测，用一句话概括你的发现：.(1)证明：•:HA

6、BC是止三角形，AZJ=ZABC=60°,AB=BC,AB=BC在△/〃“和厶BCM中，二ZABC・・.aABN竺厶BCM・(2分)AN=BM・・・乙ABN=ZBCM.又JZABN+ZOBC=60°,:.乙BCM+ZOBC=60°,ZNOC=60°.（4分）注：学生町以冇其它正确的等价证明.（2）在正方形中，AN=DM,上DON=90°・（6分）（3）在正五边形中，AN=EM,ZEON=OS°.（8分）注：每空1分.（4）以上所求的角恰好等于正刃边形的内角d）180.do分）n注：学生的表述只要合理或冇其它等价H」］•:确的结论，均给分.本题

7、结论着重强调角和角的度数.3.（2010无锡）（1）如图1,在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点，N是ZDCP的平分线上一点.若ZAMN=90°,求证：AM=MN.图1下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明.证明：在边AB±截取AE=MC,连ME.正方形ABCD中，ZB=ZBCD=90°,AB=BC.AZNMC=180°—ZAMN—ZAMB=180°—ZB—ZAMB=ZMAB=ZMAE.（下面请你完成余下的证明过程）（2）若将⑴中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC

8、”（如图2）,N是ZACP的平分线上一点，贝ij当ZAMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由.（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为