角平分线夹角问题的拓广与探究

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1、角平分线夹角问题的拓广与探究对习题进行开拓变换，探究是培养思维创新能力的有效途径，现以一道几何题为例说明：例：已知∠AOB＝90°，在∠AOB的外部作∠BOC＝30°，OE、OF分别是∠AOC、∠BOC的平分线，求∠EOF的度数。图1解：这是一个很具体的求两角平分线的夹角问题，你会将其拓广、变换吗？开拓变换1：将上题中的∠BOC＝30°改为∠BOC分别是40°、50°、60°、80°，其他已知条件不变，请你分别计算∠EOF的度数，通过计算你发现了什么？也请你准确画图后，度量验证你的计算结果。哇！真棒！你一定做出来了，你也一定发现了，虽然∠BOC变化了，但∠EOF＝45°没变，其大小与

2、∠BOC无关。开拓变换2：如果将原题中的∠AOB＝90°改为∠AOB分别为70°、80°、100°、120°，其他已知条件不变，请你计算∠EOF的度数。很好！你算出来了吧！经过计算可得：∠EOF的度数分别是35°、40°、50°、60°。∠EOF的变化与哪一个角有关呢？综合开拓变换1、2可以发现。但这只是几个特殊的例子，你会将其概括推广到一般情况，编写成一个证明题并证明吗？会！很好！做后请你对照下例：已知：∠AOB，在∠AOB的外部作∠BOC，OE、OF分别是∠AOC、∠BOC的平分线。求证：图2证明：3发散思维探究1：如果我们将上例中在∠AOB的外部任意作∠BOC，改为在∠AOB的

3、内部任意作∠BOC，其他已知条件不变。上述规律还成立吗？请你分∠BOC＜∠AOB和∠BOC＞∠AOB两种情况考虑后，看以下解答：仍然成立。简析：如图3，当∠BOC＜∠AOB时，图3如图4，当∠BOC＞∠AOB时，图4发散思维探究2：请你仔细分析上面问题中原有共几个角？是哪两个角的平分线夹角与哪一个角有确定关系？上述问题中原有∠AOB与∠BOC。它们的和（差）又构成了∠AOC共三个角，并且始终有∠AOC与∠BOC的角平分线的夹角等于第三个角∠AOB的一半。转换思维角度，我们可以将上述问题看成是，从一点发出的三条射线OA、OB、OC3构成的三个角（不大于平角）中，其中两个角∠AOC，∠B

4、OC的角平分线的夹角等于第三个角∠AOB的一半。它引发我们思考，是否任意两个角的角平分线的夹角都等于第三个角的一半！请你自己画图思考探究：从O点引三条射线OA、OB、OC。（1）当OE、OF分别是∠AOB、∠BOC的平分线时∠EOF＝___________。（2）当OE、OF分别是∠AOB、∠AOC的平分线时∠EOF＝___________。通过画图探究我们可以得到：（1）中；（2）中。至此，我们可以总结得出：从一点引出的三条射线构成的三个角（不大于平角）中，任意两角的角平分线的夹角等于第三个角的一半。练习：请你用类比的方法，循着本文的思路探究：同一直线上任意三点构成的三条线段中，任

5、意两条线段中点连线与第三条线段的关系。你能得到与上文相似的结论吗？3