角平分线与高线的夹角探究

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1、角平分线与高线的夹角探究蔡世英角平分线与高线是三角形中的两条主要线段，它们的夹角与三角形的内角存在下面两条规律。1.三角形同一顶点引出的角平分线与高线的夹角等于三角形另外两角差的绝对值的一半。例1如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，∠C=60°，AT平分∠BAC，AH⊥BC，垂足为H，则∠TAH=____________。图1解析：因AH⊥BC，所以∠TAH=90°－∠ATH。由三角形外角性质可知，∠ATH=∠B＋∠BAT∵∠BAT=∠BAC=（180°－∠B－∠C）=90°－（∠B＋∠C）∴∠ATH=∠B＋90°－（∠B＋∠C）∴∠TAH

2、=90°－∠B－90°＋（∠B＋∠C）=（∠C－∠B）=15°想一想，如果∠BAC是锐角或者钝角，那么∠TAH=（∠C－∠B）还成立吗？自己动手做做看。2.过三角形角平分线所在直线上任一点向第三边作垂线，角平分线与垂线的夹角等于三角形另外两角差的绝对值的一半。例2如图2，在△ABC中，∠B<∠C，AQ平分∠BAC，AQ交BC于点Q，点T是AQ延长线上的一点，TH⊥BC于点H，试说明∠HTA=（∠C－∠B）。图2解析：过点A作AH'⊥BC，则AH'//TH。根据平行线的性质，可得∠HTA=∠AQH'由上题的结论，可得∠QAH'=（∠C－∠B）故∠HTA=（∠C－∠

3、B）