几何概型问题探究

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1、几何概型问题探究连续型几何概型问题是高中阶段的一个重要内容，也是高考屮的一个热点，木文主要通过介绍它的概念和常见的儿种类型进行有效地进行多维度的探究与拓展，不仅揭示了问题的本质，而且对于掌握古典概型与几何概型，提供了一种非常可靠口有用的方法。一、几何概型定义事件A理解为区域的某一子区域A,如果事件A发生的概率只与构成该事件的子区域A的几何度量（长度，面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关，则称这样的概率模型为几何概型。二、几何概型的概率公式P（A）二，其屮为Q区域的几何度量，》A为子区域A的几何度量三、儿何概

2、型的特点1）试验中所有可能岀现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等。例1•在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率？分析：草履虫在这500毫升水中的分布可以看作是随机的，取得的2毫升水样可视作构成事件的区域，500毫升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率。解：取出2毫升水样，其中“含有草履虫”这一事件记为A,则P(A)二二二0.004対于几何概型的各种情况层层展开，让学生有全面的了解和认识。例2平面上画了一些

3、彼此相距2a的平行线，把一枚半径r解：把“硕币不与任一条平行线相碰”记为事件A,为了确定硕币的位置，由硕币中心0向靠得最近的平行线引垂线0M,垂足为M,如图所示，这样线段0M的长度(记作0M)的取值范围就是［o,a］,只有当r<()M^a时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A的概率就是P(A)==o从题目设置上抽象出几何概型的另一种几何度量一一长度，让学生意识到重点不是死记公式，而是从实际问题中剥离抽象出数学模型，进而体会到数学知识的成功应用带来的快乐。变式题：某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时

4、一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率。［分析］假设他在0〜60分钟之间任何一个时刻到车站等车是都可能的，但在0到60分钟之间有无穷多个时刻，不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率。可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率。因为客车每小时一班，他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的，所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件。解：设A=｛等待的时间不多于10分钟｝,我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于［50,60］这一时间段内，

5、因此由几何概型的概率公式,得P(A)二二，即此人等车时间不多于10分钟的概率为。对于长度等几何度量以多元化的形式出现，让学生活学活用，达到举一反三的目的。例3—海豚在水池中自由游弋，水池为长30米，宽20米的长方形。求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2米的概率。师生讨论：显然这是一个几何概型，我们要把题目屮最本质的东西提炼出来，那是什么？学生的答案关键是要找到随机事件对应的儿何度量。问：区域是什么？其几何度量是什么？区域及其几何度量呢？冋答以上问题后学生很快给出答案P(A)二二二二~0・31［设计意图］通过例题的设置，使

6、几何概型这本书完全打开，学牛对于这部分知识的认知直触木质，犹如登山，最终获得一览众山小的通透和畅快。(一分钟练习)例1如图，以正方形ABCD的边长为直径作半圆，重叠部分为花瓣。现在向该矩形区域内随机地投掷一飞镖，求飞镖落在花瓣内的概率。解：飞镖落在正方形区域内的机会是均等的，符合几何概型条件。记飞镖落在花瓣内为事件A,设正方形边长为2门则P(A)==所以，飞镖落在花瓣内的概率为.总之，几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发牛的概率只与构成该事件区域的

7、儿何度量成比例；分析清楚儿何概型的解题关键是既快乂准地找到事件对应的几何度量。有些几何概型的问题，既不容易分辨出属于儿何概率模型，也难发现随机事件的构成区域。